L LL
a1n a2n 0 (4 3) L
an1 an2 L ann
式（4-3）是以 为未知数的一元 n 次
方程，称为矩阵 A 的特征方程，其左端的 n 次多项式，称为 A 的特征多项式，矩阵
I A 称为 A 的特征矩阵.
a11 a12 L A E a21 a22 L
L LL
比较式(4-4)与(4-5)可得，
1 2 L n a11 a22 L ann 推论: n 阶方阵 A 可逆的充要条件是有
n 个非零特征值.
例2 设 是方阵 A 的特征值, 证明： (1) 2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆, 0 时， 1是 A1 的
特征值.
证明 :(1) 设 X是 A 的对应于 的特征
(2) (1) m 得
k1 1 m X1 k2 2 m X2 L km-1 m-1 m X m-1 0
因 X1，X 2，，X m1 线性无关，于是有
ki i m 0 (i 1, 2,L , m 1)
因 i m 0 ，所以
k1 k2 L km-1 0
于是式（1）变为 km X m 0 又因 X m 0 所以，km 0 根据数学归纳法，X1，X 2，L ，X m
k1 X1 k2 X 2 也是 A 对应于特征值 0 的特
征向量.
证明: 因
A k1X1 k2 X2 k1AX1 k2 AX2 k1 0 X1 k2 0 X2
0 k1 X1 k2 X 2
而 X1，X2 线性无关，k1，k2不全为零，故 k1 X1 k2 X 2 0
所以 k1 X1 k2 X 2 是 A 对应于特征值 0
x1
x2
0.
解得 x1 x2
1
所以对应的特征向量可取为
p1
1
当 2 4 时，由
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ，所以对应的特征向量可取
为
1
p2
1
1 1
例2
求矩阵
A
4
3
和特征向量.
1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
4 1 1 x3 0
即 4 x1 x2 x3 0
解之得， X c2 (1, 4, 0)T c3(1, 0, 4)T ，
其中 c2 , c3 为任意非零常数.
二、特征值与特征向量的性质
定理4.1 若线性无关的非零向量 X1，X2
都是矩阵 A 的对应于特征值 0 的特征向
量，则对任意不全为零的数 k1，k2 ,向量
a11 a22 L ann
由行列式定义， I A 展开式中，其余 项至多包含主对角线上的 n 2 个元素，
也就是说，A 的特征多项式 I A 中含 n 与 n1的项只在主对角线上元素的乘积
项中，故有
I A n a11 a22 L ann n1
L 1n A
第四章 特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量 §2 相似矩阵与矩阵的对角化 §3 实对称矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义
定义1 设 A为 n 阶方阵，若存在一个数
和一个非零 n 维列向量 X，使得
AX X (4 1) 则称 是 A 的特征值，X是 A 的对应于
的特征向量.
定理4.2 方阵 A与其转置 AT有相同的特征
值.
证明: 因 I AT I AT ,两边取
行列式，得
I AT （ I A）T I A
即 AT与 A 有相同的特征多项式，从而有相
同的特征值.
但应注意，A, AT 虽有相同的特征值，但不
一定有相同的特征向量. 例如
A
a1n a2n L
ann
1 2 L n n 1 2 L n n1
L 1n 12 L n (4 4)
（1） 当 0 时，式(4-4)变为
A 1n 12 L n
即
1n A 1n 12 L n
于是
A 12 L n
（2） I A 的主对角线上元素的乘积项为
对应的特征向量 X1，X 2，L ，X m1 线性无关
现证对 m 个互不相同的特征值
1，2，L ，m
对 应 的 特 征 向 量 X1，X 2，L ，X m 线 性 无
关.
设存在数 k1，k2，L ，km ，使 k1 X1 k2 X2 L km Xm 0(1)
成立，A(1) 得：
k11 X1 k22 X2 L kmm X m 0(2)
a1n a2n 0 (4 3) L
an1 an2 L ann
显然 A 的特征值 就是特征方程（4-3）
的根，特征向量 X 就是齐次线性方程组
I A X =0(4-2) 的非零解.
求解特征方程（4-3）就可以求出 A 的全
部特征值.求解齐次线性方程组（4-2）就可 求出对应的特征向量.
3 1
解 A 的特征多项式为
0
0
的特征值
2
1 1 0
A E 4 3 0
1
0 2
(2 )(1 )2
所以 A 的特征值为 1 2, 2 3 1 当 1 2 时，对应的特征向量 X 满足
3
4
1 1
0
0
x1 x2
0 0
,
即
3 4
x1 x1
x2 x2
0 0
零常数.
2 1 1
例3
求矩阵
A
0
2
0
的特征
值和特征向量. 4 1 3
解: A 的特征多项式为
2 1 1
I A 0 2 0
4 1 3
( 1)( 2)2 0
故 A 的特征值为 1 1, 2 3 2
当 1 1 时，对应的特征向量 X 满足
1 1 1 x1 0
的特征向量，式（4-1）也可写成
I A X =0(4-2)
这是一个有 n 个未知数 n个方程的齐次线
性方程组. 它有非零解的充要条件是系数行 列式等于零，即
a11 a12 L A E a21 a22 L
L LL
a1n a2n 0(4 3) L
an1 an2 L ann
a11 a12 L A E a21 a22 L
征值.
例3 设三阶方阵 A 的三个特征值为1，2
-1，求
（1） B A A2 3A 2I 的特征值； （2） C A A1 2I 的特征值.
解（1） 1 12 31 2 6
2 22 3 2 2 12, 1 12 31 2 0,
即 B 的特征值为6，12，0.
0
3
0
x2
0
4 1 4 x3 0
即
x1 x2 x3 0 3x2 0
4 x1 x2 4 x3 0
解之得，X c1(1, 0,1)T ，其中 c1 为任意非
零常数.
当 2 3 2 时，对应的特征向量 X 满足
4 1 1 x1 0
0
0
0
x2
0
1 2
1
4
A, AT有相同的特征值2、3
但容易验证
1 1
A
1
2
1
但
AT
1 1
2
1
1
定理4.3 n 阶方阵 A 的互不相同的特征值 1，2，L ，m 对应的特征向量
线性无关. X1，X 2，L ，X m
证明: m 1 时，由于特征向量不为零，
定理显然成立.
假设对 m 1个互不相同的特征值 1，2，L ，m1
（2） 1 11 2 3
1 11 2 1,
2 21 2 5 ,
2
即 C 的特征值为3，52 ， 1.
1 0 0 x3 0
x1 0
解之得，X c1(0, 0,1)T，其中 c1 为任意非
零常数.
当 2 3 1 时，对应的特征向量 X 满足
2 1 0 x1 0
4
2
0
x2
0
1 0 1 x3 0
即
2
x1 x1
x2 x3
0 0
解之得，X c2 (1, 2, 1)T，其中c2 为任意非
线性无关.
推论: 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特 征值，则 A 有 n 个线性无关的特征向量.
定理4.4 设1，2，L ，m 是A 的 m 个
互不相同的特征值，i1,i2 ,L ,iki 是 A 的
对应于 i i 1, 2,L , m 的线性无关的特
征向量，则向量组
11 ,12 ,L ,1k1 ,21 ,22 ,L ,2k2
,L ,m1,m2 ,L ,mkm
线性无关.
定理4.5 设 1，2，L ，n 是 n 阶方阵
A aij 的 n个特征值，则
(1)12 L n A (2)1 2 L n a11 a22 L ann
证明： a11 a12 L
I A a21 a22 L
L
LL
an1 an2 L
向量，则有
AX X
A2X A AX
A X AX X 2X
所以 2是 A2 的特征值
(2) 因 AX X，两边乘以 A1得， X A1 X A1 X 1 X
所以 1是 A1 的特征值.
以此类推，不难证明， k 是 Ak 的特征值；
若 (x) 为多项式，则 是 A 的特
例1. 求矩阵 与特征向量.
A
1
3
的特征值
解 A 的特征方程为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以 A 的特征值为 1 2, 2 4