§ 2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cosds
L L
如果把一个速度向量分成三个 坐标轴方向的三个分量u,v,w , 把线段ds也分解成dx, dy, dz 三 个方向的三个线段，有：
(a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分
V ds udx vdy wdz
§ 2.4 环量与涡 § 2.4.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一 个叫环量，一个叫做涡。 速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该 封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。
速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向 规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的 区域总在行进方向的左侧。
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）
涡面
的所有涡线构成的曲面称为涡面。
由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
涡管
§ 2.5.1 环量与涡的概念 涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度 都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面 问题中，涡通量就是：
z
γ
dS
n
2
S
z
dS
dS
S
在三维空间问题中，
平面问题的涡通量
空间问题的涡通量
涡通量就是：
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积
dS 的法线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切
空气动力学基础
第2章 流体动力学和运动学基础
沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室
2014年3月

第 2 章 流体运动学和动力学基础
§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 •2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡
上式即为二维问题中的格林公式。 表明：沿平面上一封闭围线 l 做速度的线积分，所 得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍 乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是 零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但 只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并 不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就 说明围线内无涡通量。
dy dy 2 dy dy 2
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形
块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）
v u V ds (udx vdy) ( )dS 2z dS L x y L s s
于是环量表达式为：
(udx vdy wdz)
L
§ 2.5.1 环量与涡的概念 如果流动是无旋的， 存在位函数Φ ， 那末上式 中的 u ,v ,w 都可以用Φ 的偏导数表达：
u x v y w z
(V ds ) x dx y dy z dz d 0 L L L
涡量可写为： rotV 2 V
旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量， 它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω ,ωz/ω。
§ 2.5.1 环量与涡的概念
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲 线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条 曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t 为参量）： dx dy dz 涡线 x y z
的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。
在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线 所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微 小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得 到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
d V ds
ABCDA
u dx v v u v dx dx x 2 x y u u dx v u dy dx v y x 2 y v u x y dxdy 2 z dxdy
推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环
量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面 积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿 一块有限大的曲面 S 的围线 L的环量仍等于 S 面 上各点的二倍角速度与面积 点积： dS
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V ds 2 dS rot V dS
L S S
展开即：
(udx vdy wdz)
L
w v u w v u ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) ( ) cos(n, z )dS y z z x x y s
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环 量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立， 绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。
§ 2.5.1 环量与涡的概念 涡量概念 是指流场中任何一点微团角速度之二倍， 如平面问题中的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运 动学的概念。 在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是： 2 2 x y z2 x i y j z k