泰勒公式的余项()[]()()(1)()0,0,()0,0,n n x f x f f t x x - 我们在这里提出一个平均估计定理，即一般化的泰勒公式，当我们在学习余数方面的公式的时候就会很自然地想到运用这个结论.作为此结论的一个运用，我们获得了一些数字化的理论去近似解决一些初始值问题，特别是微分方程问题.首先，让我们回忆一下拉格朗日泰勒公式，为简单起见，我们在上进行研究。

如果在上是连续的，并且(0)和在上存在，那么在上存在一()()()()()()()[]()121(1)1(1)(()()(1)!00002!1!00,nn n n n n n x f x f n x x x f f f f n f t x f ξξξ----++'''=⋅⋅⋅-→个数使得=p (x)+, 其中p +x+++是f 关于0点的n-1次泰勒多项式，我们首先要关注的是上述定理中当x 时 的取值.根据先前定理的解释，如果在存在，在t=0上是右连续的，并且定理1 +1)(0)1lim x 10n x n ξξ+→≠=+0，那么注意：这个定理中的假设表明数字是由足够小的x 所独立决定的.()()()()()()10()(1)1(1)1()()()(1)()0,()()()!()(0)()!()()!()()(),1!0,()1n nn n nn n n nn n n n n n n f x f x p x f n x p x f fn x p x fn x f x p x fn xx f f n ξξτξτξτξσστξσ-+-++=+⎡⎤=++⎣⎦=+=++=+ 在中，我们对运用平均估值定理，则在中存在一个数使得另一方面，依据拉格朗日泰勒公式是中某个值，所以， 证明(1)(1)()1()01(1)(0)()()()!()()()()11!()()(0)n n nn n n n n n f f x f P x f x n x x x A x P x f f x n n n f x f x f ξξ++--+≠++≠由于是t=0是右连续的且0，则结论得证.根据以上解释，可以看作逼近的一个误差，根据定理的观点，我们可以用代替从而用=+来逼近，我们就得到一个逼近的n 次多项式，事实上，我们亦可得到一个逼近的n+1次多项式，不必要求.[][]()()()(2)2(2)02()(2)1()0,0,()21(2)!()()()1!2n 1(2)!n n n n n n n n f t x x n x f x A f n n x x n x P x ff n n n ξξξ+++++-=+++=+++++ 如果存在且在上是连续的，那么在上存在一个使得运用带积分余项的泰勒公式，我们有定理2 证明 ()()()(1)(2)10(2)1010(2)110(2)1(2)1000()(0)(0)()[]111()()()[]!11()())()()1!1()()()()1!xn n n n n x n n n n x n n n x n x n n n n x x x ff f f t t dt n n n x xA x p x f t t dtn n f x p x f t x t dt n x f x A x f t x t dt f n n +++++++++++++=++-+++=+-+=+-+-=--+⎰⎰⎰⎰所以又从而()()1(2)(2)11011()[]1()1()[]()1!!11!()()()11x n nx n n n n x n n n x t t dt n x t x x f t t dt f x t dt n n n n x t xt x t n n +++++++-=+⎡⎤---+-⎢⎥+++⎣⎦-=--++⎰⎰⎰令g ](](](()()()12221101201(0)0,()0,()0,11()()()()()()!1!0x xn n n n x n x t x t x f x A x g t dt x t dtn n ffξξξξξ++++++'>≥-=+-+→⎰⎰则g =0且在上g 0，故在上g 0，所以我们运用带有积分余项的平均估值定理去论证在内存在两个数和，使得最后，我们运用平均估值定理去论证以上结论！根据定理2的陈述，很明显我们需要确定x 时的数，然后建立一个类似于刚才提出的()f x 一个结论引导我们去思考一个逼近的一种形式.()()()()()22(2)(2)10220222200(2)222()()!2!(2)!1.1()()n n n k nn n k k n k k K i n i k ji i x x x A x p x M f x M f x M f x n n n k M C M n A x f x f x M c c c c ++++-+=+++⋅⋅⋅+++=+对于给定的n ，系数和仅依赖于i ，很明显，我们有和C 根据定理2的思想，我们想要变成的一个n+2k+2阶近似。

通过将在0点展开成泰勒多项式，我们可通过以下两式获得和C ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2220022221210022222222222212!2!2!22!2!2!13!21!2!21!2!1!21!lim022!k k k k k k k n k n k k k n k x k M C M M C n k n k n k n k M C M C M C n k n k n k n k f f x A x M f x n k A x f x -+++++++++→++⋅⋅⋅+=+-++++⋅⋅⋅+=++-+++-=++的结果：于是，我们很容易的证明如果存在并且在0点是连续的.所以是的n+2k ()()[]()()()()()()()()()()2221222220,0,42!11,01,0.11,01,0,n k n kn k k kj j j j t x x x f x A x M n k M j C j M j k j ffc ξξ+++-+<≥<<≥<<=⋅⋅⋅<<=+2阶近似，下列的平均估值定理将会证明这一点。

如果存在且于上连续；那么在中存在一个数使得=+ 且0< 运用数学归纳法 当k=1时此即定理2.不妨设k>1时结论成立,并且设0 定理3证明()()()()()()()121212200,1,()(1)21!!21!+2k !1!k k n k k kk k g M C M C g n k n k n λλλλλλ-+++⋅⋅⋅----=--⋅⋅⋅-+++那么作为归纳假设的一部分，设当0<<1时，>0，其中()()()()()()()()()()()()()()021202(2)1222120lim 0,2!010,n k k x n kn k k k k k k k k x x x f x A x M fn k C g C g g g C fλλξξξλλλλ++++→++--⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭++''≤≤≠''=通常，z 表示0和z 中的较大者，当0<<1,g >0时，是依据伯努利不等式得出的。

如果有n+2k+1阶连续导数且0，那么=C ，其中，且满足= 由01连同归纳假设得出=g =0，我们也要注意对任意，存在且这表明在[][]()[][]()()[][][]2222222222,100,,1010,,11()0,10k k k k k k kk k k k k k k k k k C C C C g g C C g C C C C g λλλλλ''≠≠>'''=≥≡和上是凸函数。

如果0，0那么g ，则g 在和是单调上升的，同时亦可得到=g =0，这表明在是凸函数且单调上升的，在上是凸函数且单调下降的，从而当且仅当=0和时0在上恒成立。

如果=0或=1，那么我们仿照上述分析过程运用单侧导数加以解决，又=0或=1时0在[][][]()()()()()()()()()()()()2122220212202220,10,10,2!()21!j k n jkn k jj j n k xn k k xxn k jj f x x f x A x f x M C x n j x t f x A x t dt n k C M ff-++=++++++=≡-=-+--=++-∑⎰∑⎰上恒成立，这使得g 0在上恒成立，这与归纳假设相矛盾.现在我们将要完成定理的证明如果在上有n+2k+2阶连续导数，我们有现在将右边的每一部分展成关于点的带有积分余项的阶泰勒展式，整理后得()()()()()()()22212122220()221!2!()n jk j j n k n k k k C x t t dtk j n j f x A x x g d xffxλλλλ+-+++++--++-=⎰在以上每一个积分中，令t=x ，重新整理后得[]()()()()()()()()()()()()()()()2222202122022212222000,2!()21!()221!2!jn jkn k jj j n k xn k k n jk j xxn k j jj f x x f x A x f x M C x n j x t f x A x t dt n k C x t C M t k j n j ffxf++=+++++-+++=-=-+--=++---++∑⎰∑⎰现在我们将要完成定理的证明如果在上有n+2k+2阶连续导数，我们有现在将右边的每一部分展成关于点的带有积分余项的阶泰勒展式，整理后得()()()()[]()()(){}{}{}{}1222202222()0,1023-n k n k k k k j j j j dtf x A x xg d g C M M C fxλλλλλ++++-=≥⎰在以上每一个积分中，令t=x ，重新整理后得由于在上，运用积分中值定理即证明了结论.注意，从应用的观点看，能够有一个近似公式去估计和中和的结果是一件很有趣的事。

数字计算表示对固定n ，当单调趋于0时，单调上升.2.如果f 在以原点为圆心的圆上是解析的，那么我们就用柯西阿达马估计去推论展式()()()()()()()2222122222!2113.2423n jnn j j jn j j j i j j Rf x x M C x x n j M C C M x pf ++-=+→∞=∑=+在<是成立的.然而在实际的操作中这个展示的收敛区域至少和f 的一系列展开式中的收敛区域是一样的。