第1讲 函数概念及函数特性讲授内容一、函数概念（1）函数定义定义1 给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它相对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作M D f →:， .y x (1)数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记为)(x f ．)}(),(|{)(M D x x f y y D f ⊂∈==称为函数f 的值域．(1)中第一式“M D →”表示按法则f 建立数集D 到M 的函数关系；第二式“y x ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(x f x ”．习惯上，我们称此函数关系中的x 为自变量，y 为因变量．（2）函数的表示法函数的表示法主要有三种，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法．有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数．例如，函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 是分段函数，称为符号函数.又如函数||)(x x f =也可用如下的分段函数形式来表示：x x x f sgn )(= .有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示，只能用语言来描述．如定义在R 上的狄利克雷)(Dirichlet 函数： ⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x x x D ,0,,1)(定义在[)1,0上的黎曼)(Riemann 函数：()⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和当为既约真分数当1,01,0 ,0),,,( ,1)(x qp N q p q p x q x R （3）函数的四则运算给定两个函数f ，1D x ∈和2D x ∈，记21D D D =，并设φ≠D ．我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：,),()()(D x x g x f x F ∈+=,),()()(D x x g x f x G ∈-=D x x g x f x H ∈=),()()(.若在D 中剔除使0)(=x g 的x 值，即令,},0)(|{21*φ≠∈≠=D x x g x D D可在*D 上定义f 与g 的商的运算如下：.,)()()(*D x x g x f x L ∈=注：若,21φ==D D D ，则f 与g 不能进行四则运算．例如41)()(22-+-=+x xx g x f（4）复合函数设有两函E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(，记E D x g x E })(|{*∈=．若,*φ≠E 则对每一个*E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y ．这就确定了一个定义在*E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作**))(()),((E x x g f y E x x g f y ∈=∈=，或称为函数f 和g 的复合函数．并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量．函数f 和g 的复合运算也可简单地写作g f ． 例1 函数),0[,)(+∞=∈==D u u u f y 与函数R E x x x g u =∈-==,1)(2的复合函数为,1))((1))((22x x g f x x g f y -=-== 或 其定义域E E⊂-=]1,1[*.复合函数也可由多个函数相继复合而成．例如，由三个函数==u u y ,sin v 与21x v -=(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y=sin 21x -,x ∈[一1，1]． 注 当且仅当*E ∅≠()()∅≠E g D 即时，函数f 与g 才能进行复合．例如，以()∈==u u u f y ,arcsin D =[]1,1-为外函数，()x g u =22x +=,x =∈E R 为内函数，就不能进行复合．这是因为外函数的定义域D []1,1-=与内函数的值域()),2[∞=E g 不相交． （5）反函数设函数()x f y =,D x ∈满足：对于值域()D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(，则按此对应法则得到一个定义在()D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1-f:()D D f →，x y 或 ()()D f y y fx ∈=-,1注1 函数f 有反函数，意味着f 是D 与()D f 之间的一个一一映射．我们称1-f为映射f 的逆映射，它把集合()D f 映射到集合D ，即把()D f 中的每一个值()a f 对应到D 中唯一的一个值a ．这时称a 为逆映射1-f下()a f 的象，而()a f 则是a 在逆映射1-f下的原象．注2 函数f 与1-f 互为反函数．并有x x x f f∈≡-,))((1，()()()D y y y ff ∈≡-,1．注3 在反函数1-f的表示式中，是以y 为自变量，x 为因变量．若按习惯仍用x 作为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则反函数可改写为 ()()D f x x fy ∈=-,1．（6）初等函数基本初等函数有以下六类:常量函数 c y = (c 是常数); 幂函数 ();为实数ααx y =指数函数 xa y =()1,0≠>a a ; 对数函数 );1,0(log≠>=a a x y a三角函数),cos sin x y x y ==， x y x y cot ,tan ==;反三角函数x y a r c s i n=，x y a r c c o s =，x y arctan = ，x arc y cot =. 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数．不是初等函数的函数，称为非初等函数．如在狄利克雷函数和黎曼函数，都是非初等函数．二、函数的特性（1）有界函数定义 2 设f 为定义在D 上的函数．若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有 M x f ≤)(，则称f 为D 上的有界函数．例如，正弦函数x sin 和余弦函数x cos 为R 上的有界函数，因为一个r x ∈都有1sin ≤x 和1cos ≤x . 设f 为定义在D 上的函数，若对任何M(无论M 多大)，都存在D x ∈，使得M x f >)(0，则称f 为D 上的无上界函数．例*2 证明xx f 1)(=为]1,0(上的无上界函数 .证： 对任何正数M ，取]1,0(上一点110+=M x ，则有11)(00+==M x x f M >.故按上述定义，f 为]1,0(上的无上界函数． （2） 单调函数定义3 设f 为定义在D 上的函数．若对任何D x x ∈2,1,当21x x <时，总 有（i ）),()(21x f x f ≤则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等式1(x f ))(2x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(ii))()(21x f x f ≥，则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数；增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．例3 函数3x y =在R 上是严格增的．因为对任何，∈2,1x x R ,当21x x <时总有0]43)2)[((21212123132>++-=-x x x x x x x ，即3231x x <.例*4 函数][x y =在R 上是增的．因为对任何∈<21x x R ，当21x x <时,显然有[1x ]≤ [2x ]．函数在R 上不是严格增的，若取1210,2x x ==，则有[1x ]=[0]2=x ，即定义中所要求的严格不等式不成立．此函数的图象如图1—3所示．严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反函数．定理1.2 设D x x f y ∈=),(为严格增(减) 函数，则f 必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增(减)函数．证：设f 在D 上严格增．对任一)(D f y ∈，有 D x ∈使y x f =)(．下面证明这样的x 只能有一个．事实上，对于D 内任一x x ≠1，由f 在D 上的严格增性，当21x x <时y x f <)(1，当x x >1时有y x f >)(1，总之y x f ≠)(1．这就说明，对每一个)(D f y ∈，都只存在唯一的一个D x ∈，使得=)(x f y ，从而函数f 存在反函数)(1y fx -=，f y ∈(D)．现证1-f也是严格增的．任取f y y ∈21,(D)，21y y <·设)(),(212111y fx y fx --==，则)(),(2211x f y x f y ==．由1y 2y <及f 的严格增性，显然有21x x <，即111)(--<f y f )(2y ．所以反函数1-f是严格增的．例5 函数2x y =在]0,(-∞上是严格减的，有反函数(按习惯记法)x y -=，2);,0(x y x =+∞∈在（0，+∞)上是严格增的，有反函数∈=x x y ,[0，+∞)。

但y 2x =在整个定义域R 上不是单调的，也不存在反函数．（3）奇函数和偶函数定义4 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数．若对每一个D x ∈，有)()(x f x f -=- ))()((x f x f =-，则称f 为D 上的奇(偶)函数．从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y 轴对称．例如，正弦函数x y sin =和正切函数x y tan =都是奇函数，余弦函数x y cos =是偶函数，符号函数x y sgn =是奇函数(见图1—1)．而函数=)(x f x x cos sin +既不是奇函数，也不是偶函数.例*6 设函数x x f sin 1)(+=,),0(+∞x ，延拓到),(+∞-∞=R ，使其为偶函数.解：⎩⎨⎧<->=0 ),(,0 ),()(1x x fx x f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0,sin 10 ,10,sin 1)(1x x x x x x f .（4）周期函数设f 为定义在数集D 上的函数．若存在σ>0，使得对一切D x ∈有x f ()()x f =±σ，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期．显然，若σ为f 的周期，则n n (σ为正整数)也是f 的周期．若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的基本周期，或简称周期．例如，x sin 的周期为π2，x tan 的周期为π． 函数 ∈-=x x x x f ],[)(R 的周期为1(见图1—4)．常量函数c x f =)( 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期. 定义在R 上的狄利克雷)(Dirichlet 函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.。