F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果.
只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可 以同时改变力偶中力的大小与力 偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变.
力偶矩矢是自由矢量
三．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
FR 0, MO 0
力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
平衡
FR 0, MO 0
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
M y F 0FBiblioteka RD 2F2
F1
0
M z F 0 (F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
例3-7 已知：正方体上作用两个力偶 (F1, F1), (F2, F2),
CD // A2E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1, F的2 关系和两根杆受力.
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
主矩
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
FRx — 有效推进力 FRy — 有效升力 FRz — 侧向力
MOx — 滚转力矩
MOy — 偏航力矩 MOz — 俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
例3-11 已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力 解： 研究对象，长方板,列平衡方程
M AB F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
M AE F 0
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF
MFG MBC
F
F F
0
0 0
F6 a
Fb F2
a 2
P
F1
b 2
b
P F2b
Fz 0 Mx 0 My 0
三.空间约束类型举例
例3-8 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
解： 研究对象：小车
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
M x F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0 M y F 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
b 2
P
F3
ab a2 b2
0
cos 45
0
b0
F1 0 F2 1.5P
解： 研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Ft FBx FAx Fx 0
Fy 0 FBy Fy 0
Fz 0 Fr FBz FAz Fz 0
MxF 0 (488 76)FBz 76Fr 388 Fz 0 M y F 0 Ft R Fz r 0 M z F 0 (488 76)FBx 76 Ft 388 Fx 30 Fy 0
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
二.力偶的等效定理
实例
空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶，如果 其力偶矩相等，则它们彼此等效。
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
--称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削
力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解： 把力偶用力偶矩矢 表示，平行移到点 A.
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
例3-4
已知： F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解： 把力 F分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , My My , Mz Mz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
M
cos M y
M
cos M z
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
杆 A1受A2 拉， B受1B2压。
§3–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
主矢
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
解： 两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图b
以矢量表示力偶，如图c
Mx 0 M1 M3 cos 45 0
My 0 M 2 M3 sin 45 0
M1 M2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB2 F1 F2
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
二．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
合力
FR 0, MO 0
过简化中心合力
FR 0, MO 0, FR MO
合力.合力作用线距简化中心为
d MO FR
MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和.
合力偶
又： Fr 0.36Ft ,
Ft 10.2kN FBx 1.19kN
Fr 3.67kN FBy 6.8kN
FAx 15.64kN FBz 11.2kN
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0
Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
§3–2 力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力 F与 力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO(F) r F
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
一.空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中 每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个 坐标轴的矩的代数和也等于零.
二.空间平行力系的平衡方程
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
Fx 0 Fy 0
--称为空间汇交力系的平衡方程
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个 坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例3-1