上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、班级、考号等；2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为2. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合，则n m -=3. 已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是6. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 9. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是11. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. B. 1[,)2+∞ C.[2,)+∞ D. )2+∞14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B. 12 C. 34D. 3 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1- B. 1 C. 2 D. 3三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小.19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A ，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为【答案】 432. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合， 则n m -=【答案】 13.已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为 【答案】23- 4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是 【答案】3[,)4ππ 5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是【答案】146. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为【答案】23π 7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是【答案】{|,}2k k πθθ≠∈Z 8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 【答案】 169. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为【答案】230x y +-=10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是【答案】111. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为【答案】二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,2) B. 1[,)2+∞ C. [2,)+∞ D. 2[,)+∞ 【答案】C14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B.12 C. 34D. 3 【答案】D 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个【答案】C16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】B三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.【答案】 0x =或3y x =.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小. 【答案】19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.【答案】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.【答案】（1）3(,0)4-；（2）不存在.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.【答案】 （1）22(3)10x y +-=；（2）3x =或423y x =-；（3）10410(,).。