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3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线中，与AD1成60°角的有________ 条．
解析： 在所有面对角线中，除AD1，A1D，BC1和B1C四条以外，其余8条 均与AD1成60°的角．
答案： 8
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第二课时 公理4与等角定理
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1．在平面几何中我们知道，同一个平面内平行于同一直线的两直线平行，结 合长方体中的棱的关系想一想，这样的结论在空间还成立吗？
[提示] 仍然成立．
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2.如图是一个三棱台 ABC－A′B′C′，对于∠BAC 和∠B′A′C′来说， 它 们 的 两 边 是 什 么 关 系 ？ 这 两 角 的 大 小 有 什 么 关 系 ？ 对 于 ∠ ABC 和 ∠
4．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点，如右图 所示．
求证：BF 綊 ED1.
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证明： 取 BB1 的中点 G，连接 GC1、CE. ∵F 为 CC1 中点， ∴BG 綊 C1F， ∴四边形 BGC1F 为平行四边形， ∴BF 綊 GC1，
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[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐 角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供 了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
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异面直线所成的角
定义
取值范围 特例
过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l1，l2(a∥l1， b∥l2)，这两条相交直线所成的_锐__角___或__直__角__就是异面直线 a、b 所成的角．
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2．两条异面直线不可能( )
A．同垂直于一条直线
B．同平行于一条直线
C．同平行于一个平面
D．与一条直线成等角
解析： 由公理4知，平行于同一直线的两直线平行，故两异面直线不能同
平行于一条直线．
答案： B
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等角定理
空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 条 边 分 别 _对__应___平__行___ ， 那 么 这 两 个 角 __相__等__或__互__补___．
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ห้องสมุดไป่ตู้
[自主练习]
1．空间任意两个角 α，β 且 α 与 β 的两边对应平行，α＝60°，则 β 为( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或 120°
答案： D
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2．理解平行公理(公理 4)和等角定理． 3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三 角形中求简单异面直线所成的角．
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公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
异面直线所成的角 θ 的取值范围_0_°__<_θ_≤_9_0_°_. 当 θ＝_9_0_°_时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
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[强化拓展] 求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线 至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合 运用多种方法，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平 行线若在外，补上原体在外边．
又∵EG 綊 A1B1，A1B1 綊 C1D1.
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∴EG 綊 D1C1，
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∴四边形 EGC1D1 为平行四边形， ∴ED1 綊 GC1，
∴BF 綊 ED1.
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符号语言 若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
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[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线 平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法 方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内， 二要证两直线没有公共点． 方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.
A′B′C′、∠ACB 和∠A′C′B′呢？
[提示] ∠BAC与∠B′A′C′的对应边互相平行，∠BAC＝∠B′A′C′，对于另 外两组对应角也是同样的关系．
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1．了解空间中两条直线的三种位置关系．理解两异面直线的定义，会用平面 衬托来画异面直线．