lim(
n
s2n
u2n1 )
s
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 )
rn un1 un2 也是一个交错级数.
交 错
级
满足收敛的两个条件, rn un1
数 及 其
审
定理证毕.
敛 法
常数项级数的审敛法
例 判别级数
n2
(1)n n (1)n
的敛散性.
交错级数
v n n
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l
0时,若
v
收
n
敛,
则
un收敛;
正 项 级
n1
n1
数
及
(3) 当l 时, 若 vn发散, 则 un发散.
其 审
n1
n1
敛 法
常数项级数的审敛法
5.比值审敛法(达朗贝尔 D,Alembert 判定法)
定理4 设 un , (un 0)
(2) n1 n!
解
(1)
n1
n( n1)
解
lim
n
un
lim
n
n
1 (1)n
0
可知莱布尼茨定理的条件(2)满足, 但条件(1) 不满足, 故用莱氏定理是无法判别的, 但是因为
un
(1)n n (1)n
n n
(1)n (1)n
(1)n[
n n1
(1)n
]
(1)n n 1 n1 n1
(1)n
n 收敛,
1 发散 故 级数 发散.
例
判别级数 sin n n1 n2
的敛散性.
解
sin n n2
1 n2
而 1 收敛
n1 n2
n1
sin n n2
收敛
故原级数绝对收敛.
绝 对 收
敛
与
条
件
收
敛
常数项级数的审敛法
例 判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明 是条件收敛还是绝对收敛.
(1)
n( n1)
(1) 2
n1
1 2n
(n)n
n2 n (1)n
级 数 及 其 审
un un1 (n 2,3) 但级数收敛. 思考题
敛 法
常数项级数的审敛法
(1) un un1(n 1,2,3,)
分析
lim
n
sn
s
lim
n
s2
n
lim
n
s2n1
s
证 s2n (u1 u2) (u3 u4) (u2n1 u2n)
由条件(1): un1 un 0, 数列 s2n是单调增加的.
n2
n1
n2 n 1
常数项级数的审敛法
三、绝对收敛与条件收敛

定义1 任意项级数 un , un 可正,可负,可0.
n1
思想是: 任意项级数
正项级数
定义2 若| un | 收敛,则称 un为 绝对收敛.
n1
n1
若| un | 发散,若 un收敛,则称 un为
n1
n1
n1
条件收敛.
常数项级数的审敛法
第二节 常数项级数的审敛法
constant term infinite series
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
常数项级数的审敛法
定理1(基本定理) 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(sn s )
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
|
un
|)
(n
比较极限审敛法
1,2,)
1 qn 2 (un | un
|)
(n
1,
2,
) 正pn , qn
绝 对
显然, pn 0, 且 pn | u由n |,性质1n,21 pn收敛
收 敛 与 条
又 un ( pn qn),
un收敛
件 收 敛
n1
n1
n1
常数项级数的审敛法
任意项级数
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
交
u1 数列 s2n是有界的.
错 级 数
及
lim
n
s2n
s
u1
其 审 敛
法
常数项级数的审敛法
证 lim n
s2n1
s
s2n1 s2n u2n1
(2)
lim
n
un
0
由条件(2):
lim
n
u2n1
0
lim
n
s2n1
正 项
级
数
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
alternate series
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
u n1 n
或
(1)nun (其中un 0)
n1
n1
定理6(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:
(1) un
un1(n 1,2,3,);
(2)
lim
n
un
(1)比值法, un1 un
?1
(2)差值法, un un1 ? 0
交
(3) 由un找出一个连续可导函数 f ( x),
错 级 数
使un f (n),(n 1,2,)考察 f ( x) ?0
及 其 审
敛
法
常数项级数的审敛法
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
注
(1) un un1(n 则级数收敛.
常数项级数的审敛法
3. 比较审敛法
定理2 若0 un vn , 则
vn 收敛 un 收敛
n1
n1
un 发散 vn 发散
n1
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
正 项
级
数
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
4.比较审敛法的极限形式
定理3 设 un与 vn都是正项级数, 如 果
n1
n1
lim un l, 则
n1
1
lim un1 n un
1 1
un 收敛
n1
方法失效
un 发散
正 项 级 数
n1
及
其
审
敛
法
常数项级数的审敛法
6. 根值审敛法 (柯西判别法)
定理5 设 un ,(un 0)
n1
1
lim
n
n un
1
1
un 收敛
n1
方法失效
un 发散
n1
适用于:以n为指数幂的因子
0,
则级数收敛,且和s u1, 其余项rn的绝对值
| rn | un1 .
莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
常数项级数的审敛法
注 用莱布尼茨定理判别交错级数 (1)n1un n1
(un 0)是否收敛时, 要考察un与un+1大小, 比较
un与un+1大小的方法有三种:
1,2,3,);
(2)
lim
n
un
0,
莱布尼茨定理条件中un un1 只是充分条件.
条件(1) (un un1 (n 1,2,3) ) 不是必要条件.
条件(2) 就是说,
某(ln些im交un错级0数) 是即收使敛条的件必(1要)( 条un件.
un1)
不满足也仍有可能是收敛的.
交
错
如
(1)n
不满足莱布尼茨定理的条件:
若| un | 收敛,则称 un为绝对收敛.
n1
n1
绝对收敛与收敛有以下重要关系
定理7 若级数 un绝对收敛,则级数 un必定收敛.
n1
n1
证 设级数 | un |收敛. | un | un | un |
n1
0 un | un | 2 | un |,
0
un
| 2
un
|
|
un
|
pn
1 2
(un