4.3分子扩散的随机游动分析
自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离； 假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向； 每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等； 出现正号的次数为p，出现负号的次数为q；
p+q=N，p-q=S， p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2 经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率： p=[N!/(p!q!)]/2N：
步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：
P [
l exp( x12 )] x1
Dm t
4Dmt 2l 2
1
Dm t
exp(
x12 4Dm
t
)x1
分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布
标准差： 2Dmt
x12dP
方差： x12
0
2Dmt
dP
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。 ， 扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
x1dP
平均值： x1
0
2 Dmt
dP
0
Dm
x12 2t
0
6
随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。
4.4移流（层流）扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输
z
cu
dz
cu (cu) dx x
Dm
c x
y
dx
dy
[ Dm
c x
x
(Dm
c )dx x
x
流入扩散质cudydzdt，扩散量
t t 的两个流速的乘积对许多质点的平均值
10
拉格朗日自相关数：
RL
(
)
vi
(t)vi (t vi2
)
t0
t t
t t
Y22 (t) 2
dt
v2 (t)v2 (t )d 2
dt
v2 (t)v2 (t )d
2v
2 2
dt
RL ( )d
0 t
00
00
t t
t
t
t
t
dt RL ( )d | t RL ( )d |t0 tRL (t)dt t RL ( )d RL ( )d
t
Y2 (t0 t) v2 (t0 t)dt0TT Fra bibliotektY22
(t)
1 T
Y22 (t0
t)dt0
1 T
dt0
dt v2 (t0 t)v2 (t0 t)dt
0
0 00
tt
T
tt
dt dt 1 T
v2 (t0 t)v2 (t0 t)dt0
dt dtv2 (t0 t)v2 (t0 t)
与
c(x1 , t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率
5
求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP，分子到达x1后， 下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一
00
0
0
0
0
t
Y22 (t) 2v22 (t )RL ( )d
0
有两种极端情况
11
（1）扩散时间很短
很小，RL ( ) 1 , Y22 (t) v22t,2
Y22 (t) Y2(t) v22 t
在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。
（2）扩散时间很长
达到某一时刻t*后，可认为已无相关，
Dm
c x
dydzdt
流出扩散质dydzdt，扩散量
[ Dm
c x
x
(Dm
c )dx]dydzdt c
7
进出量之差：
x
(cu
Dm
c )dxdydzdt x
y
(cv Dm
c )dxdydzdt y
z
(cw Dm
c )dxdydzdt z
在dt时间段微元体扩散质的增加量：( c )dtdxdydz
9
00
0
00
每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均
tt
tt
dtdt 2 dt dt
t”
00
00
t
t’
左边是距形微元从0到t的积分，是一正方形
t’
t
右边积分是个三角形,左边是右边的2倍
t’ dt
t t
Y22 (t) 2 dt v2 (t0 t)v2 (t0 t )dt
00
v2 (t0 t)v2 (t0 t) 的意义是同一质点在时间差为
2
4.2 分子扩散的费克定律，扩散方程
Q
xi
c Q Dm xi
——费克第一定律
Q
Q xi
xi
x1
Q(x1, t)x1t
t
c( x1 ,
t)tx1
0
c(x1, t) x1
Dm
2c(x1 , t) x12
0
——费克第二定律
积分：
c(x1 , t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
M为t=0时在x1=0处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向 扩散。表示浓度c沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减。 3
右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项 8
4.5紊动扩散——拉格朗日法
4.5.1单个质点的紊动扩散——泰勒扩散理论
设标志质点在y2方向的流速为v2（2表示拉格朗日流速）
t
Y2 (t) Y2 (0) v2 (t)dt
0
假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散
取Y2 (0)点为原点，v2 (t)是随机变量，则Y2 (t)的统计平均值
t
由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：
c t
[ x
(cu
Dm
c ) x
y
(cv
Dm
c ) y
z
(cw
Dm
c ) z
Fc ]
或
c t
x
(cu)
y
(cv)
z
(cw)
Dm
(
2c x 2
2c y 2
2c z 2
)
Fc
——移流扩散方程
左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；
即t=t*时，RL(τ) ≈0，当t》t*时，
t
t*
t*
(t )RL ( )d t RL ( )d RL ( )d
0
0
0
12
当t很大时，忽略右边第二项，令：
t*
RL ( )d TL
N!
P
2N
[
N 2
(1
S N
)]![
N 2
(1
S N
)]!
4
分子运动N是个大数，S《N，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2π/2
P 2 exp( S 2 )
n
2N
令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；
N=at/l，Sl=x1
P 2l exp( x12 )
at
2lat