等比数列的通项公式
例1
已知{a n}为等比数列，
求证：当m＋n=p＋l时
a m·a n=a p·a l
证明：
设等比数列的首项a1，公比为q，
∵m＋n=p＋l
∴a m·a n=a p·a l得证．
评注：
本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷．
例2
在等比数列{a n}中
(1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值；
(2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n．
分析：利用等比数列的定义和性质整体观察．
解
(1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3，
(2)由已知可以看到
∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1
∴a n=2n-1．
评注：
以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷．
例3
在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10=
[ ] A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
解：
根据等比中项的性质，
a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95．
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
=log3(a1a2 (10)
=log395
=5log39
=10．
故正确答案为(B)．
评注：
(1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷．
(2)对等比数列{a n}，有以下结论：
例4
若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128
则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为
[ ] A．5
B．28
C．35
D．40
分析：
利用等比数列项间相等的性质不难求得
解：
原式=log2(a1a2a3 (10)
由等比数列数列性质
a1·a10=a2·a9=a3·a8=…=a5·a6
∴原式=log2(a5·a6)5
=5log2128
=5×7
=35．所以选(C)
例5
在3和9之间插入两个正数，使前三数成等比数列，后三数成等差数列，求这两个数之和．
分析：
欲求这两数之和，只须求得此二数，可依条件列方程、方程组解决．解：
设插入的两个数分别为x、y
评注：
(1)此题亦可改设为：3，3q，3q2，9或3，9－2d，9－d，9．这样利用等差或等比的条件设，方程少，计算简单．
三数成等差知和a 可设为：x－d，x，x＋d
四数成等差知和a 可设为：x－3d，x－d，x＋d，x＋3d，此时公差为2d
例6
分析：
等比数列中，a n，a2n，a3n，a4n仍成等比数列，利用该性质不难解出
解：
∴{a n}成等比数列．
由等比数列的性质a n，a2n，a3n，a4n仍成等比
设公比为G
∴a4n=a n·G3=8×83=4096
评注：
{a n}成等比数列，则a k，a2k，a3k，a4k仍成等比，且它们的公比是原公比q的k次方．
例7
{a n}为等比数列，且a n＞0，a2·a4＋a4·a6＋2a3a5=25
求a3＋a5
分析：
注意到下标特点，等比中项及等比数列有关性质不难得到结论
解：
∴由原式有：(a3＋a5)2=25
又a n＞0
∴a3＋a5=5．。