a21x 1a22 x 2 L a2n xn 0 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn 0
这样的方程组一定有解，至少有零解
x1x2Lxn0
根据Crammer法则，当系数行列式D≠0时，齐次线性
方程组只有唯一的零解；否则，当系数行列式 D=0 时，
●矩阵的加法（见P234定义2）
ABaijbij m n
显
注意：只
21313
1 3
成 立
矩阵加法的运算规律： （1）交换律 A+B = B+A
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）
2020/4/4
●矩阵的减法
a11 K
2020/4/4
●行列式的应用——Crammer法则
如果线性方程组
a11x 1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x 1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn bn
aa2111
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 b2
（1） （2）
(1)a22(2)a12 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 1 b 1 a 2 2 b 2 a 1 2
(2)a11(1)a21 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 2 b 2 a 1 1 b 1 a 2 1
性质 AkAl Akl 2020/4/4
Ak l Akl
●线性方程组的矩阵表示法（2）
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1
a21x1 a22x2 ...... a2nxn b2
n
1 1 1 0 0 0 AB 0
（7）
0
0
1
0
0
0
A0或 B0
1110 111 2 00 （8） 00 10 00 1 2 00
ABAC BACA 2020/4/4
B C 矩阵的乘法运算 B C 不满足消去律
●矩阵相乘的运算规律：
（1）ABCABC
一般地：
1 ABBA
2
0
5
2
（6）
2 0
31
2
0
1
1
2
0
5
2
2020/4/4
同型 但不相等。
特殊 AB=BA
（1）一般地，ABBA，即乘法不满足交换律。
小
（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或 称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。
结
特别地，有：AnAnEnEnAn，即
可交换。
A
n与 E
齐次线性方程组有非零解（无穷多个）。
2020/4/4
例2 当k为何值时，下面的方程组只有零解？
x1 kx2 2 kx3 0
k
x1
x2
2kx3
0
x1 2 x2 5 x3 0
解 因为系数方程组的行列式为
1 k 2k Dk 1 2k k26k5(k5)(k1)
12 5
所以当 k≠5且 k≠1时，原方程组只有零解
元素不全为0的方阵。如：
2 1 2
0
1
0
0 0 1
a11 a12 ......a1n
0
a 22
......a 2n
......
0 0 . . . . . . a n n
等……
2020/4/4
●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。
2 0 0
4
1
0
01 0 2 00
（2） 1
1
2
0
11
1 2
1
0
1
11 1 2 1 0
0 0 0
1
2
0
1 2 0
AB与BA不同型
ABBA
2020/4/4
1
（3）
1
2 0 2 1
1 0
2 2
1
1
0
（4）
1
1 1
0
1
2 2
1 1
2
2
（5）
1 0
1 2
1
0
3 2
2020/4/4
例3 当λ、μ为何值时，下面的方程组有非零解？
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1
2
x2
x3
0
解 因为系数方程组的行列式为
11 D 1 1 3(1)
1 2 1
所以当 λ=1 或 μ=0 时，原方程组有非零解
2020/4/4
● 矩阵的引入
用加减消元法求解二元一次方程组
j 第二个下标 称为列标。
简称为mn矩阵，简记作 A(aij )mn
2020/4/4
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1 设有线性方程组 La21Lx1 a22x2 ...... a2nxn b2
am1x1 am2x2 ...... amnxn bm
a11 a12 ......a1n
,kR，则
mn
kA kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
如：313
2 3 4 9
6 12
2 0 0
2
E3
0
2
0
0 0 2
k 0 ...... 0
kE n
0
k
......
......0
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
2020/4/4
●数乘矩阵的运算规律：
2020/4/4
1 0 1
1
例如：
0
2 1
3
2
2 1
2 1
2
0
6 4
7 4
5
2
1 0 1
2
1
2 1
2 0
1
0
2 1
3
2
无意义！
AB存在，BA无意义，ABBA
注意： 左边矩阵 的列数
右边矩阵 的行数
2020/4/4
例题：计算下列各题
0
（1） 1
2
0
1
(1 0 2 1 0 1 ) 2
D4 2
3
1
142 2
31 2 0
所以 x 1 D D 1 1 ,x 2 D D 2 2 ,x 3 D D 3 3 ,x 4 D D 4 1
2020/4/4
小结：Crammer法则的使用有极大的局限性
（1） Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；
（2） Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解；
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。
（3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。
如何解决这些问题呢？留待第七章解决。
2020/4/4
●齐次线性方程组
常数项全为零的线性方程组，称为齐次线性方程组。
a11x 1 a12 x 2 L a1n xn 0
●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，
简记作 E
。如：
n
1
0
0
1
E2
1
0 0
0 1 0
0
0
E3
1
1 0 ...... 0
0
1 ...... 0
......
En
0 0 . . . . . . 1
等……
2020/4/4
●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
设
A
M
O
a m1 L
a1n
M
a mn
AmnAmnO mn
，则称矩阵
a11 K
M
O
a m1 L
a1n
M
为A
的负矩阵，记作
A
。
a m n
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n
2020/4/4
●数乘矩阵（见教材P235定义3）
若
Aaij
（2）ABCACBC, 2 AB0
CABCACB,
A 0或B 0
（3）kA B kA B A kB 3 ABAC
（4）E m A m nA m nE nA m n
（5）0A0, A00
或 BACA BC
若 A 是方阵，则乘积 AA......A有意义，记作 A k
称为 A 的 k 次幂。
11 1 1
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
2020/4/4
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
8 2
9 3
只有矩阵 A 与矩阵B 同型
2020/4/4