即当自变量从起点z0 沿 L 连续变到终点z 时 , 辐角函数 Argz 从初值 arg z0 连续变动到终值arg z .
arg z 依赖于起点的初值和辐 角改变量 .
多值函数应用起来很不 方便，总希望能将 Argz
分解为若干单值连续函 数. 由
arg z arg z0 L Argz
可知 ， 即使固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 由于 L Argz
状无关 .
由辐角改变量
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部 可知 , 只要能使区域内任一简 单闭曲线都不围绕原
点z 0 , 辐角改变量在这个区域 内就与区域的形状
无关 .
因此， 将复平面 C 沿负实轴 (包括无穷远点 ) “剪开”
到 L1 , 而在连续变形中， L0 Argz 的值也要连续变
到 L1 Argz 的值， 就不能从原来的值作2π 的跳跃 ,
从而只能保持原值.
因此 , 若 L0 , L1 为 C {0} 中的简单曲线, 则
当且仅当 L0 ~ L1 时 , 有 L0 Argz L1 Argz . 若 L1
原点旋转的圈数 .
那么， 起点和终点相同的不同 在什么条件下，
曲线上的辐角改变量相 等呢?当且仅当在区域C
才有 {0}内两曲线 L0 与 L1“伦移” : L0 ~ L1 时，
L0 Argz L1 Argz .
(区域 D 内 L0 与 L1 伦移 L0 ~ L1 ,其几何意义是存
在一个连续曲线族 φ i , 通过它可使 L0 连续变形到
z1 是 L 的终点 . 当 z 沿 L 从 z0 连续变 动到 z1 时 , oz 所旋转的角称作 Argz
y
z1
z
L
z0
0
在 L 上的改变量 , 简称 辐角改变量 ,
x
记作 L Argz .
例如 , 对下图中的三条具有相 同起点
y
z1
z
L
L Argz
z0
x
和终点简单曲线, 有
y
1 i
L1
arg z 2kπ z G , k Z .
为了后面讨论问题的需要，先给出如下定义.
定义2.8 设函数 f ( z ) 在区域 D 内有定义 , 若对 D 内任
则称函数 f ( z ) 意不同两点 z1 与 z2 ,都有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，
在 C {0} 内与 L 的形状有关 , 对于任意 一 z C {0} , arg z 都不是惟一的. 因此， 在 C {0} 内 arg z 是不能分 解为单值连续函数的. 这样自然会想到， 缩小区域是
否可行呢 ? 而问题的关键在于寻找 这样的区域， 使得 辐角改变量只与起点、 终点位置有关而与曲线 的形
根据今后研究问题的需要，先介绍辐角函数， 对理解辐角多值性是有益的. 1 辐角函数
我们知道， 任意一个复数 z ( z 0) 都有无穷多
辐角函数 w Argz 是一个多值函数, 个辐角 . 因此，
它的定义域是C {0} (在 z 0 处辐角无意义) .
设 L 是 C {0}内一条简单曲线, z0 是 L 的起点 ,
本节将要看到, 许多复变量的初等函数都是多 值的, 在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要 的意义. 因为只有在这样的讨论中才能看出函数多 值性的本质.
函数多值性源于辐角函数的多值性.
本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指 数函数与对数函数的映射性质; 主要是采用限制辐 角或割破平面的方法, 来分出根式函数与对数函数 的单值解析分支. 最后, 对反三角函数及一般幂函数 作简单介绍.
0
y
L2
1 i
y
1 i
o
1 i
x
o
1 i
x
o
1 i
x
L3
π 3π 5π L1 Argz ; L2 Argz ; L3 Argz . 2 2 2
一般说来，尽管起点和终点相同，但若曲线 不同，其辐角改变量也不尽相同，它们要相差2π.
辐角函数 w Argz 的多值性正是由于它围 绕
就是终点 z 的单值连续数, 如果取定初值arg z0 2 π ,
则得另一个单值连续函 数 arg z 2 π arg z0 2 π
ΔL Argz .
如果取初值arg z0 2kπ (k 为整数) , 一般来说， 则得到一个单值连续函 数 arg z 2kπ . 这样, 就在 G 内把 Argz 分成无穷多个单值连续 函数
是零曲线 , 则显然有 L1 Argz 0 .
由于区域 C {0}内任一不围绕原点的简 单闭
因此， 曲线 L0 都能连续收缩到一点, 即 L0 ~ 0 ，
若简单闭曲线 L C {0} , 有
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部
L1 而不离开区域 D(如图)) .
(若 L1 ( t ) 常数 0 , 即 L1 只是一个
点， 则称 L1 为一条零曲线 . 若 L0
y
L0
φi
L1
D
o
x
和零曲线同伦, 就记为 L0 ~ 0 . 对单连通域内任
一简单闭曲线L , 有 L ~ 0 ) .
这是因为， 这时 L0 可不通过原点连续变形
而成一单连通开区域, 记为 G . 这时， 在 D 内任取一简单 y z G 从而有 Argz 0 . 闭曲线 L , 故 L ~ 0 ，
L
L
o
x
ΔL Argz 将 于是，对于G 内的任一简单曲线L ，
只与 L 的起点和终点有关, 而与曲线的形状无关. 在
G 内固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 则 arg z0 ΔL Argz
此外 , 显然有 L Argz L Argz .
设 L 是 C {0}内的一条简单曲线, z0 是 L 的
起点 , z 是 L 的终点 , 在 z0 取定 Argz 的一个值 , 记
为 arg z0 , 称作 Argz 在 z0 的初值 .将 arg z0 L Argz
称作 Argz 在 z 的终值 , 记作 arg z ， 即 arg z arg z0 L Argz .