I (u ) (u ) arct an R(u )
功率谱
P(u) R (u) I (u)
2 2
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f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：
f ( x)
A 0
(0 x X ) x0
求其傅立叶变换F(u)
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解：
F (u )

0

X
M 1 x0
1 F (u ) M
f ( x)[cos2ux / M j sin 2ux / M ]
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成； u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
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相关性匹配举例
延拓图像f(x,y)
相关函数图像
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离散傅立叶变换应用中的问题 1) 频谱的图像显示 谱图像就是把 |F(u,v)| 作为亮度显示在屏幕 上。 由于在傅立叶变换中 F(u,v) 随 u ， v 衰减太快， 直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都 不清楚。为了符合图像处理中常用图像来显 示结果的惯例，通常用D(u,v) 来代替，以弥 补只显示|F(u,v)|不够清楚这一缺陷。D(u,v) D(u, v) log(1 | F (u, v) |) 定义为：
F (u N / 2, v N / 2) f ( x, y)(1) x y
在作傅立叶变换时，先把原图像f(x,y)乘以 (-1)x+y，然后再进行傅立叶变换，其结果谱 就是移N／2的F(u,v)。其频谱图为|F(u,v)|。
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移中性：变换后主要能量（低频分量）集中在频率 平面的中心。 原图像f（x，y） 未移中的变换：
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F=fft2(f); %二维傅立叶变换（fft算法） figure() mesh(fftshift(abs(F))); %绘制频谱图 F2=fftshift(log(1+abs(F))); figure() imshow(F2,[-1 5], 'InitialMagnification','fit'); %显示频谱图像，频谱的零频率系数被移到频谱中间 colormap(jet);colorbar
下图给出了一维傅立叶变换原频谱 |F(u)| 图 形 和 D(u) 图 形 的 差 别 。 原 |F(u)|图形只有中间几个峰可见，图(b) 为处理后D(u)的图形。
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2)频谱的频域移中 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心 的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角， 作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角， 这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个 图像的零点移到显示的中心。例如把F(u,v)的 原零点从左上角移到显示屏的中心。
4


为什么要在频率域研究图像增强

可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施 都在空间域进行
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间 域采用硬件实现它


5
8.1 一维傅立叶变换

法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的 《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表 达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级 数。 20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到 了广泛的应用。
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简单函数的傅里叶谱M 点离散函数及其傅里叶频 谱(M=1024, A=1, K=8)； 对应的傅里叶频谱
曲线下面积：当x 域 加倍时，频率谱的高度 也加倍；当函数长度加 倍时，相同间隔下频谱 中零点的数量也加倍。
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8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
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傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类 似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率) 分成不同颜色，称数学棱镜。

傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
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傅立叶变换在极坐标下表示: F (u) F (u) e j (u )
频率谱
F (u ) R 2 (u ) I 2 (u )
相位谱
22
2） 平移性
公式（1）：
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2） 平移性：
公式（2）：
2 f ( x x0 , y y0 ) F (u, v) exp j (ux0 vy0 ) N
24
2）平移性：
25
3）分配律：
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3） 尺度变换（缩放）：
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5）旋转性
则：
f ( , 0 ) F ( , 0 )
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幅度谱、相位谱、能量谱
一般F(u,v)是复函数,即:
j (u ,v )
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) e
幅度谱: 相位谱:
F (u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v)
I (u, v) (u, v) tg R(u, v)
*卷积 • 乘积
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9） 相关定理
则：
f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G (u, v) f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v)


相关
*共轭
乘积
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卷积和相关理论总结： 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。
第8章 图像傅立叶 变换
学习重点
二维傅立叶变换的定义 二维傅立叶变换的性质 二维傅立叶变换matlab实现
2
学习内容
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 一维傅立叶变换 二维傅立叶变换 傅立叶变换的性质 matlab傅立叶变换的实现 傅立叶变换的应用简介
3
为什么要在频率域研究图像增强

可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。 一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域 中变得非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤 波的某些性质 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题， 频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波 器参数是一个理想工具
f ( x )e
j 2ux
dx
Ae
j 2ux
A j 2ux dx e j 2u


X
0
A e juX e juX e juX j 2u A sin(uX )e juX u
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对应的傅立叶谱为：
A F (u ) sin(uX ) e juX u sin(uX ) AX uX

Y=fftshift(X) 把fft函数、 fft2函数和fftn函数输出的结果的零频 率部分移到数组的中间。对于向量，把X的左右部分 交换，对于矩阵，把X的第一、三象限和二、四象限 交换
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8.5 傅立叶变换的应用简介
1） 图像的傅立叶分析 %已知一幅30*30大小的二值图像，在图像中间有 个长为5高为20的白色区域，其它区域为黑色 %对这幅图进行傅立叶变换分析（主要用用FFT算 法） clc clear all f=zeros(30,30); f(5:24,13:17)=1; %定义图像数组 figure() imshow(f,'InitialMagnification','fit');
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快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变 换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这 种方法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余 运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想 指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作 量，达到了快速的目的。
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N维傅立叶变换：Y=fftn(X)——返回X的多维离散 傅立叶变换，结果Y和X的大小一致。 把傅立叶变换的零频率部分移到频谱的中间，使用 fftshif函数，调用格式如下：
此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图 像也旋转同一角度。
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旋转性举例：
原图像及其傅立叶幅度谱图像
原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转45
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6) 周期性和共轭对称性
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6）周期性和共轭对称性
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7）平均值
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7）平均值
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8）卷积定理
则：
f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v) f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v)

6
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8.1 一维傅立叶变换
1） 一维连续函数的傅立叶变换（FT）
定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积， 则下列变换成立： 傅立叶正变换：

F (u Байду номын сангаас


f ( x) exp j 2uxdx

傅立叶反变换：
当周期为N时，应在频域移动N／2。利用傅 立叶的频域移动的性质： 当u0=v0=N/2时
F (u u0 , v v0 ) f ( x, y) exp[j 2 (u0 x v0 y) / N ]
exp[j 2 (u0 x v0 y) / N ] exp[j ( x y)] (1) x y
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%在上面的变换前的矩阵没有被填充，下面比较 填充矩阵后的情况 F=fft2(f,256,256); %在变换前f被用0填充成256*256的矩阵，变换 后的矩阵大小也是256*256 figure() imshow(fftshift(log(1+abs(F))),[-1 5]); colormap(jet);colorbar