第五节 多边形和圆的初步认识
要点精讲
一、多边形的相关概念
1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．
2．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．
3．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形．
二、多边形的内角和外角和
1．n 边形的内角和为（n －2）·180°．
2．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n －2）·180°,所以，正n 边形的每个内角为：n n )
2( ·180°．
3．多边形的外角和都等于360°．
三、圆及有关概念：
圆——到定点的距离等于定长的点的集合
圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆． 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧
等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧
弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 弦心距——圆心到直线的距离
弓形——弧与所对的弦所组成得图形．
圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部
圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部
二、与圆有关的角
圆心角：顶点在圆心的角
圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
（补充）弦切角、圆内角、圆外角及性质：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半．
顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半．
三、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性．
垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
垂径定理的推论
1．弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
2．垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
3．弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
4．圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
依据垂径定理及其推论1．2．3可概括为5．2．3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论（4．1．3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．
相关链接
正多边形：正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．
典型分析
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）
A．115°
B．l05°
C．100°
D．95°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．
中考案例
1.（2011宿州）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数.
【解析】要求∠C和∠D的度数，条件较分散，如何用好平行线是解题关键.因此可延长AB、CD、EF,将多边形转化为三角形.
【答案】向两边延长AB、CD、EF，分别交于H、M、G(如图7-62).
因为∠BAF=120°，∠ABC=80°，
根据邻补角定义知∠GAF=60°，∠HBC=100°.
又因为AF∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠H=∠GAF=60°.
又因为∠BCD是△BHC的一个外角，所以
∠BCD=∠H+∠HBC=160°.
因为AB∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EDM=∠H=60°.
由邻补角的定义可得∠CDE°=180°-∠EDM=120°.
2.(2011江苏)如图，各图形是由边长为1的正方形按照一定规律排列组成的.
(1)观察图形，填写下表:
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长_______________(都用含n的代数式表示).
【解析】 (1)中填空的图形具体数一数得出∶图②中正方形个数为13，周长为28；图③中正方形个数为18,周长为38.(2)推测第n个图形正方形个数及周长，要根据(1)中三组数据的特点，结合图形，认真观察，全面分析，可得到完整正确的规律.
【答案】 (1)13；28；18；38.
(2)5n+3；10n+8
针对训练
1．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n 的大小关系是（）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
2．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
3．圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
4．车轮半径为0．3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（）
A．3．6π千米/小时 B．1．8π千米/小时 C．30千米/小时 D．15千米/小时5．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图, 正十七边形的中心角∠AOB的
度数近似于（）
A．11°B．17°C．21°D．25°
6．下列实际生活中的物体，其表面形状可近似地看作多边形的是（）
A．硬币 B．六角螺丝 C．菊花 D．日光灯
7．下列平面图形中，不是多边形的是（）
A．三角形 B．五边形 C．扇形 D．八边形
8．多边形是由一些_______组成的封闭图形．
9.今年暑期，某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间(包括指导老师)每周至少通一次电话，现在该校七年组一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通几次电话?
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图.
参考答案
1．【答案】C
【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n ．故选C ．
2．【答案】C
【解析】设圆的原来的半径是R ，增加1倍，半径即是2R ，则增加的面积是4πR2-πR2=3πR2，即增加了3倍．故选C ．
3．【答案】
【解析】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm ，∴DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5， ∴EF=7．
第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．故选D ．
4．【答案】A
【解析】：∵车轮半径为0．3m ，∴周长是0．6πm ，∴车轮绕着轴心转动100转，则经过的路程是100×0．6π=60πm ，∴自行车行驶的速度是60πm/分=3．6π千米/小时．故选A ．
5．【答案】C
【解析】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等，因此360°÷17≈21°．故选C ．
6．【答案】B
【解析】根据多边形的定义判断．
7．【答案】C
【解析】根据多边形的定义判断．
8．【答案】不在同一条直线上线段依次首尾相连
【解析】根据多边形的定义可以得出．
9. 【答案】1378次
【解析】 依题意知，每周师生通话次数=多边形的边数+多边形的对角线的条数.本例提供的数字模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求总握手次数的问题，其次数是n+2
)1(2)3(-=-n n n n . 将七年级一班师生53人看作53边形的53个顶点，由多边形对角线条数的公式可求出通话次数.
即:2
)353(53-=1325
所以1325+53=1378(次)
因此该班每周师生间至少共要通1378次电话.
扩展知识
计算公式
1．圆的周长C=2πr=或C=πd
2．圆的面积S=πr2
3．扇形弧长L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）4．扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
5．圆的直径 d=2r
6．圆锥面积 S=πrl。