《幂函数》教学设计一、设计构思1、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性理解。

现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。

学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。

所以，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。

该内容安排一课时。

2、设计理念注重发展学生的创新意识。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。

这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

注重提升学生数学思维水平。

课堂教学是促动学生数学思维水平发展的主阵地。

问题解决是培养学生思维水平的主要途径。

所设计的问题应有利于学生主动地实行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。

内容的表现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。

本节主要安排应用类比法实行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。

注重学生多层次的发展。

在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。

有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习水平是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。

注重信息技术与数学课程的整合。

高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，增强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生使用计算机、计算器等实行探索和发现。

另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。

3、教学目标①．知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

②．水平目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳水平，培养学生数形结合的意识和思想。

③．情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

4、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，使用问题情境能够使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，实行数学建构，并能使用数学知识解决问题，让学生有使用数学成功的体验。

本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，体现以学生为主体，教师主导作用的教学思想。

教具：多媒体。

制作多媒体课件以提升教学效率。

5、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳理解幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质。

6、教学过程与操作设计：情景一我们来看看由8、2、3、13这四个数；问题1：使用数学符号可组成哪些式？我们知道：N=ab如果a一定，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y=a x；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y=log a x。

问题2：如果为定值，随的变化而变化，是不是我们也应该能够建立一个函数呢？函数形式是什么？设计意图：通过情景一达到复习旧知指数函数和对数函数，分析三种运算间的紧密联系。

继而引入新课-----幂函数。

情景二写出下列关于实际问题的函数解析式：①正方形边长为a，面积S；②正方体棱长为a，体积V；③正方形面积为S，边长a；④某人骑车t秒内匀速前进了1m,骑车速度为v；⑤一物体位移为S与位移时间为t，速度1m/s.问题3：以上问题中的函数有什么共同特征？设计意图：情景二是学过的几个特殊函数，通过度析其共同点，得出幂函数的定义，并从中理解到幂函数与前面学过的正比例、反比例、二次函数间的关系。

1.定义：（板书）一般地，形如y xα=的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数。

活动一：尝试练习练习1.下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）12y x=（2）22y x=（3）32y x=+（4）2y x=-（5）2y x-=答案：（1）、（5）练习2.（1）已知幂函数的图像过点（3,27），试求这个函数的解析式；（2）已知()()2212mm f x m m x ++=+⋅是幂函数，求实数m 的值.答案：（1）3y x =，（2）12m =-±。

小结与反思：设计意图：练习1、2是为了加深对幂函数概念的理解。

活动二：利用描点法作出下列函数的图象，并观察图象，分组讨论，探究幂函数的图象的变化规律和性质，并展示各自的结论实行交流评析，并填表。

（1）y=x ；（2）2x y =；（3）3x y =；（4）21x y =；（5）1-=x y ．y=x2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性 定点问题3.由具体幂函数的性质，你能够归纳出一般的幂函数的性质吗？设计意图：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。

在观察中提炼特征，在总结中发现规律。

活动三：巩固练习练习3. 作出下列函数的图象432333532,,,,.y x y x y x y x y x --=====小结与反思： 设计意图：练习3是为了加深学生对图像中指数变化规律的掌握，教会学生用特殊值法求解。

练习4.用不等号填空：（1）1.30.5 1.50.3；（2）5.1-2 5.09-2；（3）－1.791/4 －1.811/4；（4）233.8- 253.9；（5） 1.43 1.55；（6）若3a ＞2a ，则a 0；（7）32432334⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

小结与反思： 设计意图：练习4是为了巩固函数的单调性的应用。

函数单调性是判别大小的重要依据。

活动四：例题讲解例1．若幂函数()()22231m m f x m m x--=--在区间（0，+∞）上是增函数，求实数m的集合。

例2、已知幂函数()223m m f x x-++= (m ∈Z )为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()1g x qx q =+-，若()0g x >对任意x ∈[-1，1]恒成立，求实数q 的取值范围．设计意图：例1是为了增强幂函数的单调性的应用，例2是较综合的问题，把函数的单调性和奇偶性综合在一起，并且还和二次函数的恒成立问题结合，培养学生的综合问题分析、理解水平。

活动五：探究提升若3322(21)(1)a a -->+，求实数a 的取值范围。

变式：若1133(2)(12)a a --+<-，求实数a 的取值范围。

设计意图：本题主要是为了培养学生思维的发散性和周密性。

课堂小结：1、课本第87页第2、3题。

设计意图：数形结合是学习函数的基本方法，本节课的核心内容都能够借助此图掌握。

2、在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）；（2）如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数。

（3）如果α＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地趋近y 轴；当x 趋向于＋∞时，图像在x 轴上方无限地趋近x 轴。

设计意图：培养学生用图像研究函数的意识。

课外活动利用计算机探索一般幂函数的图象随的变化规律。

设计意图：培养学生探究的意识和精神，体会人机对话的感受。

《幂函数》的教学实录师：数学的内在美常常让我深深感动让我们来欣赏运算的完美性。

我们来看看由8、2、3、13这四个数使用数学符号可组成哪些式？生：328=，2log 83=，1382=。

师：（投影） 师：（投影）函数的完美追求。

如果为定值，随的变化而变化，是不是我们也应该能够建立一个函数呢？函数形式是什么？生：能够呀！形如的函数.师：阅读幻灯片中的具体实例（1）~（5），写出关于的函数解析式. 生：（回答）（1）S=a 2；（2）V=a 3； （3）a =（4）1v t=； （5）S=t ．师：以上问题中的函数有什么共同特征？ 生：底数是未知数，指数是常数. 师：(1) 底数为自变量x ，系数为1； (2) 指数为常数；(3) 均是以自变量为底的幂.顾名思义：我们就把这样的函数叫做幂函数。

（板书课题：§2.3 幂函数）师：请用幂函数的定义完成下面两个练习. （学生自己完成，并核对答案）并请同学们完成后实行反思，找到此类题目的结构特点和解法. 师：（学生解完后）练习2中的第一题没已知解析式，用什么方法解决？第二题应抓住幂函数的什么性质切入？生：第一题用待定系数法设，第二题抓住幂函数的系数为1这个性质能够很快解决. 师：函数研究研究函数一般主要从函数“三要素“去研究，刚才研究了解析式，现在来探究幂函数图像并归纳幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、定点等性质。

（由学生自主完成，体验作图方法，最后老师展示下图） 由具体幂函数的性质，你能够归纳出所有幂函数的性质吗？ 生：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）； （2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升； 当时，幂函数的图象类似双曲线，在第一象限逐渐下降。

（3）函数的图象关于轴对称，函数，，的图象关于原点对称，函数的图象没有对称性。

（4）当x ∈（0，1）,指数越大，图像越靠近轴；当x ∈（1，+∞）时，指数越大，图像越靠近轴。

（5）图像不过第四象限。

师：小结与反思：一法是直接用上面归纳的结论，二法能够取代入解析式，结合图像求解。

生：快速完成练习并小结反思师：练习4是函数的单调性比较大小，其关键是确定函数模型，第（7）小题用到了几种函数模型？生：前两者是幂函数模型，后两者是指数函数模型。