第7章 群、环和域
定理7.1.4 设G,*是独异点，则在*的运算表中任何两行两 列都不相同。 证明：先证明任何两列不相同。 设运算*的单位元是eG，xG，yG，x≠y 因为e*x=x， e*y=y，所以e*x≠e*y，这说明e所在行的 元素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中 任何两列是不相同的，至少e所在行互不相同。 类似地可证任何两行是不相同的。 前面说过，<Nk,＋ k>和<Nk,×k>是半群。根据表6.1和表 6.2，N4 上的模4加法＋ 4 有单位元0，N4 上的模4乘法×4 有单 位元1，所以<N4,＋ 4>和<N4,×4>都是独异点。在＋ 4 和×4 运 算表中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可交 换独异点。 例如，设A是任一集合，P(A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P(A)上是封闭的，并运算∪的单位元P(A)，所以半群 <P(A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运算 ∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。 显然，并运算∪和交运算∩满足交换律。所以，它们都 是可交换独异点。 定理7.1.3 设G,*是可交换的独异点，H为其所有幂等元的 集合，则H,*为独异点。 证明：a,bH，于是a*a=a，b*b=b。由*是可交换的，从 而(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)=a*b 于是a*bH，即*在H上封闭，显然HG，根据定理7.1.1， H,*是半群。 因e*e=e，故eH。所以H,*为独异点。
第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1 7.2 半群和独异点 群与阿贝尔群
7.3
7.4
子群
陪集和拉格朗日定理
7.5
7.6 7.7 7.8 7.9
正规子群
同态和同构 循环群 置换群 环与域
第7章 群、环和域
第7章 群(Group)、环(Ring)和域(Field)
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数结构<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数结构，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数结构<S,*>为半群。 例如，代数结构<I,＋>、R,·、<P(A),∪>、<P(A),∩>、 <Nk,＋k>和<Nk,×k>都是半群。
第7章 群、环和域
证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。B,* 是代数结构。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又由于 S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B,*是半群。 定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B,*叫做半群S,*的子半群。 例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定 理7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半 群。类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。 定理7.1.2 设S,*是半群，S是有限集，则必有aS，使得 a*a=a。 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b2=b*bS b3=b2*bS „
第7章 群、环和域
证明：设<G,*>为由a所生成的循环半群，x, yG，则 x=am，y=an，于是 x*y=am*an=am+n=an+m =an*am=y*x
即<G,*>是可换半群。
7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质
定义7.2.1 设G,*是代数结构，其中，G是非空集合，* 是G上二元运算。如果 ⑴运算*在G上是可结合的。 ⑵运算*的单位元eG。 ⑶xG，有x–1G。 则称G,*为群。有时也可将群G,*简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 上的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异 点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。
第7章 群、环和域
设I＋是正整数集合，＋是I＋上的普通加法，加法在正整 数集合I＋上封闭且适合结合律。所以I＋,＋是半群。但I＋中 没有幂等元,因I＋不是有限集。 【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y| 其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明 <R,*>是一个半群。
第7章 群、环和域
定理7.2.4 在群<G,*>中，除幺元e外，不可能有别的幂等元。 证明：因为e∗e=e，所以e是幂等元。设aG且a∗a=a， 则有a=e∗a=(a –1∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a –1∗a=e 即a=e。 7.2.2阿贝尔群 定义7.2.4 设<G,*>是群，如果二元运算*是可交换的，则 称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整 数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。 定理7.2.5设<G,*>是群，则<G,*>是阿贝尔群的充要条件是 对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 证明：设<G,*>是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有 (x∗y)∗z=(x∗y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z| x∗(y∗z)=x|y∗z|=x|y|z||=x|y||z| 所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R,*>是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G,*是半群，如果运算*的单位元eG， 则称半群G,*为含幺半群或独异点。
证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设|G|＞1且群<G,*> 有零元θ。那么对群中任何元素xG，都有x∗θ=θ∗x =θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾。
第7章 群、环和域
定理7.2.2 设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一的xG，使 得a∗x=b。 证明：设a的逆元是a–1，令x= a –1∗b，则 a∗x=a∗(a –1∗b)=(a∗a –1)∗b=e∗b=b 若另有一解x1，满足a∗x1=b，则a –1∗(a∗x1)=a –1∗b 即x1=a –1∗b=x。 定理7.2.3 设<G,*>是群，对于任意的a,b,cG，如果有a∗b=a∗c 或者b∗a=c∗a，则必有b=c。 证明：设a∗b=a∗c，且a的逆元是a –1，则有 a –1∗(a∗b)=a –1∗(a∗c) (a –1∗a)∗b=(a –1∗a)∗c 即e∗b=e∗c，故b=c；当b∗a=c∗a时，同样可证得b=c。 “对于任意的a,b,cG，如果有a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则必 有b=c。”就是第6章讲的消去律。所以，定理7.2.3可理解 为：群满足消去律。
定理7.1.5设<G,*>是独异点，若a,bG且a, b均有逆元，则
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=a*(b*b–1)*a–1 =a*e*a–1=a*a–1=e 又 (b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e 故 (a*b)–1=b–1*a–1 定义7.1.4 设<G,*>是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则称半群<G,*>为由a所生成的循环 半群，而a称为半群<G,*>的生成元素。 定理7.1.6 一个循环半群一定是可换半群。
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第7章 群、环和域
普通加法＋在I上是封闭的和可结合的，在I中有关于加 法的单位元0，xI，有x–1＝–xI，所以I,＋是群。该群 叫做整数加法群。 乘法·在Q-0上也是封闭的和可结合的，在Q-0中有 关于乘法的单位元1，xQ-0，有x–1＝1/xQ-0，所以 Q-0,·是群。 用同样的办法可以证明R,＋是群，其中0是单位元， xR，x–1＝–xR。群R,＋叫做实数加法群；但R,·不 是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而R-0,· 是群，其中1是单位元，xR-0，有x–1=1/xR-0。 【例7.2】设G＝e,a,b,c，表7.1给出了*的运算表。证明 G,*是群。
第7章 群、环和域
这样一来，可以将6.2节中关于xn的定义推广为： x0=e x1=x xn+1=xn *x n为正整数。 x–n＝(x–1)n n为正整数。
定义7.2.2 设<G,*>是群，如果它的子代数<H,*>也是群，则称 <H,*>是<G,*>的子群。 定义7.2.3 设<G,*>是群，如果G是有限集，则<G,*>称为有限 群，如果G是无限集，则<G,*>称为无限群。基数|G|称为群 <G,*>的阶数，简称群G的阶。 定理7.2.1 群中不可能有零元。
半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运 算组成的代数结构。设<S,*>是半群，如果运算*又满足交换 律，则称半群<S,*>为可换半群。若S为有限集合，则半群 <S,*>称为有限半群。
定理7.1.1 设<S,*>是半群，*是S上的二元运算，BS，如 果*在B上是封闭的，则B,*也是半群。
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因为S是有限集，所以必有i＜j使 bi=bj 令p=j–i，p≥1，而j=p＋ i ，则 bi=bj=bp+i=bp*bi 于是下式成立： bq=bp*bq q≥i 因为p≥1，总可以找到正整数k≥1，使得kp≥i 对于S中的元素bkp，就有 bkp=bp*bkp =bp*(bp*bkp) =b2p*bkp =b2p*(bp*bkp) =„ =bkp*bkp 令a=bkp，则a*a=a