高二数学期末试卷方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ；柱体的体积公式：V ＝Sh ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 已知集合{}0,1,2M =，集合{}2,N x x a a M ==∈，则M N = ．2． 复数z ＝1－i ，则1z z+的实部是________． 3． 某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为 9，则这组数据的方差是．4．函数()f x =定义域为 ．5． 若双曲线2214x y m m +=-的虚轴长为2，则实数m 的值为 ． 6． 根据右面的伪代码，最后输出的T 值为 ．7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．8． 记棱长都为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12=VV ．9． 若直线y ＝2x ＋b 是曲线e 2x y =-的切线，则实数b ＝ ．10．任取两个小于1的正数,x y ，那么,,1x y 恰好为一个钝角三角形三边长的概率为 ． 11．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos2αβ的值为 ．12．已知函数2()23()f x x ax ab bc ac =++-++（其中a ，b ，c 为正实数）的值域为[0,)+∞，则2a b c++的最小值为 ．13．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+=的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是 ．14．已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．若129129m m m m m m m m a a a a a a a a ++++++++++=⋅⋅⋅⋅，则正整数m = ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量 m ＝(1，3)，n ＝(1－cos A ，sin A )，且∥m n ．（1）求A 的值；（2）若1＋sin 2Bcos2B＝－3，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD 折起，得到三棱锥A －BCD （如图2）． （1）若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：EF ∥平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．AB C D C B A DFE （第16题图1）（第16题图2）1392Pr int T For I Form TO Step T T I End ForT ←←⨯17．（本小题满分14分）如图，A ，B ，C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向63千米处．（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时∠CBP ＝45°，求PB 的距离；（2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．18．（本小题满分16分） 19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，2121n n n n a a a a λμ+++=+，n ∈N *．（1）当λ＝2，μ＝0 时，求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n a 是等差数列，求λ＋μ的值；（3）若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{b n }满足 a 1≤b n ≤a n ．求{b n }的通项公式． 20．（本小题满分16分）已知函数32()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R ．（1）若1a =，函数()f x 与其导数()f x '在区间[1,)+∞上都为单调函数，且单调性一致，求实数b 的取值范围；（2）若1c =，且对x ∀∈R ，()()f x f x '>恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1a =，c =m －b （实数m 是与b 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，b 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞U U ，求m 的值．1．{}0,1,2,4． 2．32． 3．45． 4．(0,10]． 5．3． 6．945． 7．29．8．提示：棱长为a3； 9．－2ln 2．提示：设切点00(,e 2)x P x -10．24π-．提示：几何概型，其中几何区域D 为0101x y <<⎧⎨<<⎩，几何区域d 为2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，且d D ⊆11．1．提示：由于展开繁琐，故进行角的整体变换，要么凑，要么换元，[][]sin ()()sin 2sin()cos()cos()sin()cos2cos ()()cos()cos()sin()sin()αβαβααβαβαβαββαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+--+-++-tan()tan()11tan()tan()αβαβαβαβ++-==++-． 12．．提示：三板砖“减个元、换个元、变个形”，由0∆=得23a ab bc ac +++=，法1：由23a ab c a b --=+，得222323322()a ab a ab b a b c a b a b a b a b a b--+++++=++==+++++； 法2：∴()()3a a b c a b +++=，∴()()3a b a c ++=，由2()()a b c a b a c ++=+++得 13．3182λ<≤．提示：坐标法，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，法1：设P(x ，y)，则有222x y λ+=，它表示圆O ，从而转化为圆O 与线段AC 有两个交点，画图观察知圆O 与直线AC 相交，且A 在圆O 外或圆O 上即可；法2：设(P x +，转化为当10x -≤≤时方程246320x x λ++-=有两个不等实根，参数分离，作图观察14．5．提示：求出公差1d =，可得前13项为-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，无论求和还是求积，从“0”入手最简单，注意到129,,,,m m m m a a a a +++为连续的10项， 若0在其中，从0向左右两边依次取项相加，直到和为0，可得5m =，若0不在其中，由于0前面只有9项，故10项都在0后面，显然这些数的积比和大，故无解15. (1) 因为∥m n 所以sin A ＋3cos A(2分)则sin ⎝⎛⎭⎫A+π3.(4分)又0<A<π ，所以A ＝π3.(6分)(2) 由题知 1＋2sin Bcos Bcos 2B －sin 2B＝－3，整理得sin 2B －sin Bcos B －2cos 2B ＝0.(8分) 又cos B ≠0 ，所以tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1.(10分) 又当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去，所以tan B ＝2.(12分)故tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－tan A ＋tan B 1－tan Atan B＝8＋5311. (14分)16．(1)因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ． ………………2分又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ． …………………6分(2) 因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，CD ⊂平面BCD ，CD ⊥BC ，所以CD ⊥平面ABC ． ……………………8分因为AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ． ……………………10分又因为AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ． ……………………12分又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ． ……………………14分17. (1) 在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝60°，∠APB ＝75°，由正弦定理，得AB sin ∠APB ＝BPsin A，即BP ＝6×322＋64＝1236＋2＝33(6－2)，故PB 的距离是92－36千米. (4分)(2) 甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9. ① 当0≤t ≤1时，f(t)＝（6t ）2＋（12－3t ）2－2·6t·（12－3t ）cos 60°＝37t 2－16t ＋16≤9，(6分)即7t 2－16t ＋7≤0，解得8－157≤t ≤8＋157.又t ∈[0，1]，所以8－157≤t ≤1，(8分)故两人通过对讲机保持联系的时长为15－17小时.② 当1<t ≤4时，f(t)＝36＋（12－3t ）2－2·6（12－3t ）cos 60°＝3t 2－6t ＋12≤9，(10分) 即t 2－6t ＋3≤0，解得3－6≤t ≤3＋ 6.又t ∈(1，4]，所以1<t ≤4，(12分)故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－17＝15＋207(小时).答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时. (14分)(注：不答扣1分)18．（1）20解（1）法1：由题意，()2'32f x x bx =+233x x b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1︒当203b -=，即0b =时，()2'30f x x =…对x ∈R 恒成立， 故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203b ->，即0b <时，令()2'303f x x x b ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x b >-， 所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203b -<，即0b >时，令()2'303f x x x b ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则23x b <-或0x >， 所以()f x 的单调递增区间为23,b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()f x '的单调递减区间为13,b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调增递区间为,13b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 与其导数()f x '在区间[1,)+∞上都为单调函数，且单调性一致，所以23b ≥-法2（不严密）：易知()2'32f x x bx =+在区间[1,)+∞上只能单调递增， 所以13b -≤，因为函数()f x 与其导数()f x '在区间[1,)+∞上都为单调函数，且单调性一致，所以对任意的1x ≥， ()2'320f x x bx =+≥恒成立，即32b x ≥-恒成立，所以23b ≥-，综上：23b ≥-；（2）由题意可得:记=)(x F 32(3)210ax b a x bx +--+>恒成立．若0a ≠，则三次函数()F x 至少有一个零点0x ，且在0x 左右两侧异号，不合题意；所以0a =，此时2()210F x bx bx =-+>恒成立等价于：b =0或者>0,010b b ∆⎧∴<⎨<⎩≤． （3）因c m b =-，故()32f x x bx m b =++-，由（1）得：1︒当0b =时，()f x 单调递增，故()f x 至多有一个零点，不满足题意；2︒当0b ≠时，若函数()f x 有三个不同的零点，则只需()203f f f b f ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭极大极小()34027b m b m b ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭， 又实数b 的解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因此13b =-，21b =，332b =是关于b 的方程()34027b m b m b ⎛⎫+--=⎪⎝⎭的三个实数根， 分别代入检验，可得1m =．第（3）问解答详见2015年江苏高考第19题。