《金融工程》（第2版）计算题答案第二章计算题1、假设现在6个月即期利率为10%（半年复利一次，下同），1年期的即期利率是12%。

如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试计算说明这样的市场行情能否产生套利活动？答：按6个月即期利率10%和远期利率11%计算，有(1+10% /2) ( 1+11% /2) = 1.108按1年期即期利率12% (半年复利一次)计算，有= 1.124(1+12% /2)2显然，两者结果并不相等，所以市场上的远期利率如果是11%时，则一定存在套利机会。

2、假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。

假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

答：为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。

为了使该组合在期权到期时无风险，Δ须满足下式：11Δ- max (0,11-10.5) =9Δ- max (0,9-10.5)即 11Δ- 0.5 = 9Δ- 0Δ = 0.25由于11Δ－0.5 = 9Δ=2.25，该无风险组合的现值应为：= 2.192.25e-10%×3/12因当前股票市价是10元，有10Δ-f = 10×0.25 -f = 2.19得f = 2.5-2.19 = 0.31元3.一只股票现在的价格是40元，该股票一个月后的价格将上涨到42元或者是下降到38元。

假如市场无风险利率是8%，运用无套利原理说明，执行价格为39元的一个月欧式看涨期权的价值是多少？答：为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。

为了使该组合在期权到期时无风险，Δ须满足下式：42Δ- max (0,42-39) =38Δ- max (0,38-39)即 42Δ- 3 = 38Δ- 0Δ = 0.75由于42Δ- 3 = 38Δ=28.5，该无风险组合的现值应为：28.5e-0.08×1/12= 28.30因当前股票市价是40元，有40Δ-f = 40×0.75 -f = 28.30得f = 30-28.30 = 1.70元4.条件同上题，试用风险中性定价法计算看涨期权的价值，并比较两种计算的结果。

答：假定所有投资者都是风险中性的，设此时股票价格上升概率为P、下跌概率为l-P，该风险中性概率由市场平均风险厌恶程度所决定，可依据无风险利率计算：e －8%×1/12e [42×P+38×(1-P)] = 40－0.02/3可得 P = 0.567[4P+38] = 40根据风险中性定价原理，对该期权未来的期望值加以折现就得到期权期初的价值：f = e －8%×1/12f = 0.993×[3×0.567+0×0.433) = 1.70 (元) [max (0,42-39) P+ max (0,38-39) (1-P)]第三章 计算题1．某项资产的年波动率为35%，该资产目前的市场价值为40万元，计算该资产置信度为99%时，一星期时间的在险价值 (VaR)为多少？答：由于σ= 35%、S 0 VAR = 2.33= 40万元、T = 1/52年，当置信度为99%时，该资产在险价值为：T S σ0= 4.52362．假设某公司持有甲、乙、丙三种股票构成的证券组合，其β系数分别是1.5、1.3和0.9，各自在证券组合中所占的比重分别是35％、35％和30％，此时证券市场的平均收益率为12％，无风险收益率为5％。

请问上述组合投资的风险溢价和收益率分别是多少？答：组合投资的贝塔系数为：βp =Σw i ·βi组合投资的风险溢价为：R = 35％×1.5 + 35％×1.3 + 30％× 0.9 = 1.25p = βp · ( R m - R f = 1.25 × (12％-)组合投资的总收益率为：R=5％) = 8.75％R f ＋R p = 5％+ 8.75％ = 13.75％3．有A 、B 两只股票，当前价格分别为30元每股和25元每股，若股票市场出现牛市的概率为35%，A 、B 股票价格分别上涨10元每股和5元每股；股票市场出现熊市的概率为45%，A 、B 股票价格分别下跌10元每股和5元每股；股票市场维持现状的概率为20%。

你作为投资者，在A 、B 股票中会如何选择？答：A 、B 两只股票的期望收益各为：E(R A ) = ΣR A i ·P i E(R = 30×20% + 40×35% + 20×45% = 29（元）B ) = ΣR B i ·P i A 、B 两只股票的期望收益率各为：= 25×20% + 30×35% + 20×45% = 24.5（元）E(r A ) = [ E(R A ) - R A ]／R A E(r = (29 -30)／30 = -3.33%（元）B ) = [ E(R B ) - R B ]／R B 所以应选择B 股票，因为在给定条件下，B 股票的预期损失率要小于A 股票。

= (24.5 -25)／25 = -2.00%（元）第四章 计算题1.假设两种证券构成一市场投资组合，它们的期望收益、标准差和投资比例如下表所示。

若两种证券的相关系数为0.4，市场无风险利率为6%，请写出其资本线方程。

答：由于σA ﹥0、σB ﹥0，故A 、B 两种证券均为风险资产，其构成的投资组合的期望收益E (r AB ) 和标准差σA B 为：= 0.3×0.12 + 0.7×0.18 = 0.162(元)= (0.3×0.15)2 +(0.7×0.25)2 σ+2×0.3×0.7×0.4×0.15×0.25 = 0.03895 A B = (0.03895)½ A 、B 两种证券投资组合与无风险资产构成的资本配置线 (CAL)方程为：= 0.1972.假设市场投资组合由四种证券组成，它们的投资比例、市场的协方差如下表所示。

请答：该市场投资组合的方差为：= (0.2×242 + 0.3×360 + 0.2×155 + 0.3×210 )×10-3 标准差为:σ= 0.2504P = (0.2504)½= 0.53、假定市场资产组合的风险溢价的期望值为8%，标准差为22%，如果一资产组合由2 5%的通用公司股票（βGM =1.10）和75%的福特公司股票（βFord 答：该资产组合的贝塔系数β =1.25）组成，那么这一资产组合的风险溢价是多少？P为：= (0.25×1.10) + (0.75×1.25) 因为市场资产组合的风险溢价E (r =1.2125M ) - r f = 8%，故该资产组合的风险溢价E (r P ) - r f为：=1.2125×8% = 9.7%第八章 计算题1.一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。

这笔互换规定以6个月的LIBOR 利率交换12%的年利率（每半年记一次复利）。

市场上对交换6个月的LIBOR 利率的所有期限的利率的平均报价为10%（连续复利）。

两个月前6个月的LIBOR 利率为9.6%。

请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？答：运用债券组合为该利率互换估值，设甲方支付浮动利率LIBOR ，收入固定利率12%；乙方支付固定利率12%，收入浮动利率LIBOR ；并设各变量、参数符号如下。

fix B ：互换合约中分解出的固定利率的价值；fl B ：互换合约中分解出的浮动利率的价值。

i t ：当前距第i 次现金流交换的时间(1≤i ≤n )；L ：利率互换合约中的名义本金额；)()()(B B A A AB r E w r E w r E +=BA B A B B A A AB w w w w σρσσσσ222222++=fAB AB AB p r w r E w r E ⋅−+⋅=)1()()(AB P P AB f AB f w r r E r ⋅+=−+=−+=102.006.0197.006.0162.006.0)(σσσABf AB AB AB P w w w 197.0)1(=⋅−+⋅=σσσim i i P w σσΣ=2Ford Ford GM GM P w w βββ⋅+⋅=])([)(f M P f p r r E r r E −=−βi r ：到期日为i t 的LIBOR 零息票利率；k ：支付日支付的固定利息额。

固定利率的价值为：n n i i t r n i t r fix Le ke B −=−+=∑1B fix = 10×12％×½×(e－10%×4/12 +e －10%×10/12) +10e = 0.6×(0.9672+ 0.9200) +10×0.9200 =10.132(10亿美元)－10%×10/12 浮动利率的价值为：11)(*t r fl ek L B −+= B fl = 10e －10%×10/12+10×9.6％×½×e －10%×4/12 +10×10％×½×e =10×0.9200+0.48×0.9672+0.5×0.9200 =10.124(10亿美元)－10%×10/12该互换对甲方价值为：fl fix B B V −=甲=10.132-10.124= 0.008(10亿美元) = 800(万美元)该互换对乙方价值为：甲乙V B B V fix fl −=−== -0.008(10亿美元) = -800(万美元)2.甲公司希望以固定利率借入美元，而乙公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。

市场对这两公司的报价如下：请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求对互换双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。

答：甲公司和乙公司的货币互换设计如下图，其中甲公司美元利率降低：9.6% - 9.3% = 0.3%乙公司日元利率降低：6.5% - 5.5% - (10% - 9.3%) = 0.3%中介银行获得的报酬为：5.5% - 5% = 0.5% (即50个基点)3.甲公司和乙公司如果在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：甲公司需要的是浮动利率贷款，乙公司需要的是固定利率贷款。