用思维导图突破导数压轴题《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者上海市特级教师文卫星解答数学题的“思维导图”：逛公园顺道看景，好风光驻足留影.把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。

中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。

专题01 导数与函数的最（极）值问题利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零点i x ，i N ∈，根据f 'x （）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小值，再确定最值。

先求导数 再定零点 考查单调 极值来了否已知条件隐含条件中间结论（可知）已知条件的等价转化待求（证）的结论结论的等价转化（需知）能否能引例（2019江苏卷第19题）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数.（1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <„，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M „.思路点拨第（1）只要直接计算即可。

第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。

第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），根据单调性确定极大值为321111()(1)=-++f x x b x bx ，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。

第（3）解题思维导图如下：（1）因为a b c ==，所以3()()f x x a =-，又(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =.（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--， 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =.又2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---，令()0f x '=，解得x b =，或23a b x +=.因为()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，所以3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去； 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去； 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去； 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈； 求的极大值 对求导可得的极大值= 又，，再放大，或再放大求M ， ，令 ， 证明其在单调递增求M 利用，可得 ， 。

构造，，求M利用，可得3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去； 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去. 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，从而2()(3)(3)f x x x =-+，()3[(3)](1)f x x x '=---， 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：从而可知，()f x 的单调递增区间为(−∞,−3]和[1,+∞),单调递减区间为[−3,1]，由此可知当1x =时，函数()f x 取得极小值，2(1)2432f =-⨯=-.（3）证明：0a =，01b <„，1c =，()()(1)f x x x b x =--，则2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++.因为△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…，所以()0f x '=有两实根12,x x ，设12x x <，则()f x 单调递增区间为(−∞,1x ]和[2x ,+∞),单调递减区间为12[,]x x ，于是()f x 取得极大值为1111()()(1)M f x x x b x ==--。

这里有两个变量，随着把二元变量转化为一元变量有两种方法，这对恒等变形能力要求较高，也可以根据b 的范围确定x 1的范围，利用基本不等式整体消元，这样比较简单。

解1 利用求根公式由b 表示1x ，消1x由2111()3(22)0f x x b x b '=-++=得 2111[(22)]3x b x b =+-，从而1111()()(1)M f x x x b x ==--2111111(22)()()()()3b x bx b x x x b x +-=--=--222111[(21)2]3b x b x b =--+2211(22)1[(21)2]33b x b b b x b +-=-⋅-+2211[(222)]9b b x b b =-+-++。

由于22132222()022b b b -+-=---<，且11(0,]3x =，所以M 在11(0]3∈x ，，上单调递减，2221222524()932727b b b b M b b -+-+-++=剟. 即427M „. 还可以这样消去x 1：因为2111'()32(1)0=-++=f x x b x b ，所以12==x x所以321111()(1)=-++f x x b x bx()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ 211112(1)(1)'()()3999x b b b b b f x x +-++=--+23(1)2(1)(1)2272727+-+=-+b b b b ，由于1<≤b 0，2202727≤++上式427≤，即427≤M 。

这两种恒等变形是不是有不会想到啊！ 解2 利用()f 'x =0消去b由2111()3(22)0f x x b x b '=-++=得 211132(0,1]21x x b x -=∈-，解得11120133x x <≤<≤或， 又1122(1)4233b x x x +<+=≤，所以123x <，从而1103x <≤，于是 223211111111(21)()(1)21x x x M f x x b x bx x -+-==-++=-。

22(21)()21x x x g x x -+-=-令，222(1)(331)'()0(21)x x x x g x x ---+=>-则，()g x 在1(0,]3单调递增， 所以114()()327f x g ≤=，即427M …. 解 3 利用不等关系01b <≤消b因为(0,1]∈b ，所以1(0,)∈x b ，110,10.∴-<-<x b x 2111111()()(1)(1)f x x x b x x x ∴=--≤-。

令2()(1)g x x x =-，(0,1)x ∈，则1'()3()(1)3g x x x =--，令'()0g x =，则13x =，列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 解4 利用均值不等式消x 1因为(0,1]∈b ，所以1(0,)∈x b，由均值不等式(0,0,0)3a b ca b c ++>>>，则1111()()(1)f x x x b x =--11112()(1)2x b x x =⋅--3114()2327b +≤⋅≤ 所以427≤M 。

思路点拨第(1)题求出'()f x 的零点0，3a，分0,0,0a a a =><三种情况，讨论'()f x 的符号，从而确定其单调性。

第（2）题根据（1）在[0，1]的单调性，求出值M 和m ，再求M m -的取值范围。

满分解答（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=解得 0x =或3ax =.若0a =，2()60f x x '=…，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 若0a >，则当(x ∈-∞，(,0)(,)3a-∞+∞U 时，()0f x '>；当(0,)3a x ∈时，()0f x '<.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)3a+∞，单调递减区间为(0,)3a ；若0a <，则当(,)(0,)3a -∞+∞U 时，()0f x '>；当(3ax ∈，0)时，()0f x '<.故()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(0,)+∞，单调递减区间为(3a，0)。

（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(3a，1)上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]的最小值为3()2327a af =-+，最大值为(0)2f =或(1)4f a =-.于是，3+227a m =-，4,022,23a a M a -<<⎧=⎨<⎩，，„从而332,0227,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪<⎪⎩，„ 当02a <<时，记3()227a g a a =-+，则可知2'()109a g a =-<，因此3()227a g a a =-+在(0,2)单调递减，M m -的取值范围是8(,2)27； 当23a <…时，327a 单调递增，M m -的取值范围是8[27，1).综上，M m -的取值范围8[27，2).思路点拨（1）讨论()f x 的单调性，就是要比较)('x f 与0的大小。