§ 连续函数的性质♦ 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。

从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。

定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。

定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。

注： 在具体应用局部保号性时，常取01()2r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01()()2f x f x >。

定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,f fg f g g±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。

关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数gf在点0x 连续。

证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有0|()()|g u g u ε-<。

（1）又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε-<。

这就证明了gf在点0x 连续。

注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==定理 5 ()x f xx 0lim →存在的充要条件是()()0lim 000+=+→x f x f x x 与()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→00lim ()x f x x 00lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02>δ，当 100δ<-<x x 时，()ε<-A x f ①当 －002<-<x x δ时， ()ε<-A x f ②取{}0,m in 21>=δδδ时，当δ<-<00x x 时，则δ<-<00x x 和00<-<-x x δ 二者必居其一，从而满足①或②，所以()ε<-A x f ．定理 6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续．证明：()x f 在0x 点连续即为()()00lim x f x f xx =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．定理7 海涅（Heine ）定理：()x f xx 0lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则有()n n x f ∞→lim 存在．分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。

设()A x f xx =→0lim ，则对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 时， ()ε<-A x f①设0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则存在N ，当N n >时，δ<-<00x x n ，从而满足 ①，即()ε<-A x f n ，亦即()A x f n n =∞→lim ． 充分性。

（１） 先证若0lim x x n n =∞→（0x x n ≠），()00,lim x y x y n n n ≠=∞→，则 ()=∞→n n x f lim ()n n y f ∞→lim ． 取⎩⎨⎧=+==,2,12k n y k n x z k kn 则()00,lim x z x z n n n ≠=∞→，从而()n n z f ∞→lim 存在且()=∞→n n z f lim ()=-∞→12lim n n z f ()=∞→n n x f lim ()=∞→n n z f 2lim ()n n y f ∞→lim ．于是对任给的序列{}n x ，若0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则()n n x f ∞→lim 存在且极限值与{}n x 的选取无关，记为A ．(2) 证明()A x f x x =→0lim （反证法），若()A x f xx ≠→0lim ，则有00>ε，对任给的0>δ，总有x '满足δ<-'<00x x 且使得()0ε≥-'A x f ．取1=δ，则有1x 满足δ<-<010x x ，使得()01ε≥-A x f取21=δ，则有2x 满足⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<0102,21min 0x x x x ，使得 ()02ε≥-A x f ，… …取n 1=δ，则有n x 满足⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-010,1min 0x x n x x n n ，使得 ()0ε≥-A x f n ，… …由此可以找到{}n x 满足0lim x x n n =∞→（0x x n≠），且 ()00>≥-εA x f n ，即此时 ()A x f n n ≠∞→lim ，这与（１）的结论矛盾．♦ 闭区间上连续函数的基本性质设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，本段中我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质。

定义1：设f 为定义在数集D 上的函数。

若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈有00()()(()())f x f x f x f x ≥≤,则称f 在D 上有最大值（最小值），并称0()f x 为f 在D 上的最大值（最小值）。

例如，sin x 在[0,]π上有最大值1，最小值0。

但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值（即使f 在D 上有界）。

如()f x x =在(0,1)上既无最大值也无最小值。

又如1,(0,1),()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩它在闭区间[0,1]上也无最大、最小值。

下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。

定理8（最大、最小值定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值；或称函数()x f 在[]b a ,上达到最大值． 分析：设[]()x f Mb a x ,sup ∈=，则问题所要证的是存在[]b a x ,0∈，有()Mx f =0．证明：设=M []()x f b a x ,sup ∈，则对任给的Nk ∈，有∈k x []b a ,，使得()kM x f k 1->． 由{}k x 有界，按致密性定理（问题11.1.1），从而可选取{}k x 的子序列{}kn x ，0lim x x knk =∞→，[]b a x ,0∈，一方面kn n M x f M k 1)(->≥，得Mx f k n k =∞→)(lim ，另一方面由连续性)(lim knk x f ∞→()0x f =，由此()Mx f =0．同理，我们可证，[]b a ,上的连续函数()x f 在[]b a ,上可达到最小值．此外，这里b x a kn≤≤（=k １,２,…）按极限的保序性有b x a ≤≤0．例1：设(){}x f n 为有界闭区间[]b a ,上一连续函数列，且()()()≥≥x f x f 211…()()≥≥+x f x f n n 1…，()()()x f x f n n ∞→=lim 2处处存在．试证()x f 在[]b a ,上必有最大值．证明：()x f 1在[]b a ,上连续，故有界，从而存在00>M ，使()x f 1≤0M ，∈x []b a ,，从而()≤x f 0M ，∈x []b a ,．令()x f Mbx a ≤≤=sup ，则0M M ≤为有限数，对任给的N k ∈有∈k x []b a ,，()kM x f k 1->.又{}k x 是有界数列,则有收敛子列{}k n x ,设其极限为0x ,即0lim x x kn k =∞→∈[]b a ,,于是()M n M x f x f kk n n k n k =-≥=∞→∞→)1(lim )(lim 0. 再令∞→n ,()()M x f x f n n ≥=∞→00lim ,从而()M x f =0. 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理.推论1 （有界性定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界。

定理9 （介值性定理） 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠。

若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>），则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()f x μ=。

（此定理的证明用如下的“根的存在定理”来说明）这个定理表明，若f 在[,]a b 上连续，又不妨设()()f a f b <，则f 在[,]a b 上必能取得区间[(),()]f a f b 中的一切值，即有[(),()]([,])f a f b f a b ⊂。

推论2（根的存在定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()0f x =。

即方程()0f x =在(,)a b 内至少有一个根。

证明：下面去说明：若()x f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a < 0，()f b > 0，则必存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。

记集合 {}0)(],[>∈=x f b a x E ，易知∅≠E ；由于E 有下界 a ，故必有下确界，记为E inf =ξ， 故对),[ξa x ∈∀，有0)(≤x f ，对此式两边取极限-→ξx ，由于()x f 在[,]a b 上连续，因此有0)(≤ξf 。