上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。

()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。

证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。

（1） 求J 的特征多项式与最小多项式；（2） 设()x f 为复数域上多项式。

证明()J f 必相似于对角阵。

3．（10分）（1） 设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。

（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。

若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。

此处E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。

证明： （1） AB=0的充要条件是0=AB A T； （2） 矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。

证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

9（10分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。

10（10分）设W 为欧氏空间V 的一个子空间。

W a V b ∈∈,证明若对任意W a ∈，ab a b -≤-则W a b ⊥-上海交通大学2003年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121012001A ，求100A .2（15分）以22⨯P 表示数域P 上的2阶矩阵的集合。

假设4321,,,a a a a 为两两互异的数而且他们的和不等于零。

试证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121111a a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222221a a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4323331a a a A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4424441a a a A 是P 上线性空间的一组基。

3（15分）证明：阶实对称矩阵A 的秩为r,()n r ≤，当且仅当A 可以写成TCbC A =，其中B 为r n ⨯阶满秩矩阵，C 为r 阶可逆实对称阵。

4（15分）假设()()()()()25442033152210140x f x x f x x f x x xf x f ++++被1234++++x x x x 整除。

证明：()x f i ,()4,3,2,1,0=i 被1-x 整除。

5（15分）设A 为阶反对称实矩阵，{}n a a a diag B ,...,,21=,其中0 i a ，证明0 B A +。

6（15分）n 阶方阵A 满足等式2A A =，当且仅当()()A E r A r n -+=。

7（20分）设A ，B 都是n 阶实方阵，并设λ为BA 的非零特征值；以BAV λ表示BA 关于λ的特征子空间。

（1）证明：λ也是AB 的特征值；（1）证明：维数()BA V λ=维数()ABV λ。

8（20分）设A ，B 都是n 阶正定方阵。

试证明：AB 的特征值为实数。

9（20分）记nn PV ⨯=，P 为数域。

假设V A ∈有特征值()n i i ,...,2,1=λ，但()n i i ,...,2,1=-λ均不是A 的特征值。

试证明：V 的变换X A XA X T +→:ψ为同构。

上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：数学分析一 选择题（每题3分，共15分）1．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x f α在0=x 处连续但不可导，则α满足不等式A ．0 αB ．1 αC ．10≤αD ．21 α2．若()[]b a R x f ,∈，则下列结论正确的是 A ．()[]b a C x f ,∈B ．()x f 在()b a ,内的任一子区间内至少有一个连续点；C ．()x f 可能在[]b a ,上每一点都不连续；D ．()x f 可能在[]b a ,上所有无理点处都不连续。

3．若曲线b ax x y ++=22与123-=xy y 在点()1,1-处相切，则系数b a ,的值为A ．⎩⎨⎧=-=03b aB ．⎩⎨⎧=-=25b a C ．⎩⎨⎧=-=23b aD ．⎩⎨⎧-==21b a4．二次积分()dy y x f dx xx ⎰⎰102,的另一积分次序为A ．()dx y x f dy xx ⎰⎰102,B ．()dx y x f dy yy⎰⎰102,C ．()dx y x f dy yy ⎰⎰1,D ．()dx y x f dy xx⎰⎰21,5．曲线积分⎰+-Cy x xdyydx 22的值为（）。

其中C 是闭曲线1=+y x 的正向。

A ．0B ．πC ．π2D ．π2-二 下列命题是否正确，若正确证明之，若错误试举例说明。

（每题5分，共25分） 1． 若()x f 在[)+∞,0连续且有界，则()x f 在[)+∞,0上必一致连续。

2． 若()x f 在0=x 点的邻域内二阶可导，且()00='f ，()1lim=''→xx f x 则()0f 为()x f 的极小值。

3． 若广义积分()⎰+∞dx x f 收敛，且()A x f x =→0lim ，则A=0。

4． 若()()y x f y x f y x ,,,在点()00,y x 的任何邻域内均无界，则()y x f ,在()00,y x 处必不可微。

5． 若级数∑∞=1n na收敛，则对{}n a 的任一子列{}k n a 都有∑∞=1k n ka收敛。

三计算下列极限（试写出计算过程及理由。

共18分）1.202lim h a a a hh x h x h -+-+→,()1,0≠a a 2.03!lim=⋅∞→nnn n n 3.dx xpx p ⎰-+∞→21221sin lim四（10分）设{}n a 为实数列，0lim =∞→n n a .证明必存在子列{}k n a ⊂{}n a ，使∑∞=1k n ka收敛。

五（10分）设函数()x g 在[)+∞,0上非负，()α=⎰+∞→dx x g AA 0lim（α为有限数），又()x f 在[]1,0上连续。

试证()()()0lim 10110f dx x f x t g t t α=⎰--→+六（12分）设函数列(){}x f n 在区间I 上一致收敛于()x f ，且()x f n 在I 上一致连续(N n ∈)。

证明：()x f 在I 上也一致连续。

七（10分）设函数()()x g x f ,都在[]b a ,上连续，且()0≠⎰bax g ，又()()0≠+x g x f ，[]b a x ,∈∀证明：至少存在一点[]b a ,∈ξ，使()()()()⎰⎰=b aba dxx g dx x f g f ξξ。

上海交通大学2003年硕士研究生入学考试试题试卷名称：数学分析一判断以下各题，正确的给出证明，错误的举反例并说明理由。

（每小题6分，共24分） 1． 若()x f 在R 上有定义，且在所有无理点处连续，则()x f 在R 上处处连续。

2． 若()x f ,()x g 连续，则()()()()x g x f x ,m in =ϕ连续。

3． 任意两个周期函数之和仍为周期函数。

4． 若函数()y x f ,在区域D 内关于x,y 的偏导数均存在，则()y x f ,在D 内必连续。

二（12分）设()x f 在[]b a ,上无界，试证对任意0 δ,在[]b a ,上至少有一点x ，使得()x f 在0x 的δ邻域上无界。

三（12分）设()x f 对任意R x ∈有()()2xf x f =且()x f 在0=x 和1=x 处连续。

试证明()x f 在R 上为常数。

四（12分）已知0,...,,21 n a a a ，()2≥n 且()xx nx xn aa a x f 121...⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=，试求()n n x a a a x f ...lim 210=→五（12分）若实系数多项式()n n n n n a x a x a x a x P +++=--1110,00≠a 的一切根均为实数。

试证明导函数()x P n '也仅有实根。

六（12分）设{}n na 收敛，级数()∑∞=--21n n na an 收敛。

试证级数∑∞=1n n a 收敛。

七（12分）设()x y ϕ=,0≥x 是严格单调增加的连续函数，()00=ϕ是它的反函数。

试证明对0,0 b a 有()()ab dy y dx x ba ≥+⎰⎰0ψϕ八计算题（每小题12分，共24分）1． 求函数()444,,z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值。

2． 计算积分()dz arctgzdxdy z y I V⎰⎰⎰-=，其中V 为由曲面()22221R z y x =-+,0=z 和h z =所围成的区域。

九（10分）设()x g 在[)+∞,a 上一致连续，且对任意的a x ≥有()A n x g n =++∞→lim ，是试证()A x g x =+∞→lim十（10分）试证：()x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111ln 2十一（10分）设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()x f 是非线性函数。

试证存在()b a ,∈ξ，使得()()()ab a f b f f --' ξ上海交通大学2002年硕士研究生入学考试试题试卷名称：数学分析一判断题（以下个题，对的要证明，错的要举反例并说明理由，每题6分，共24分）1． 若n n n b x a ≤≤，N n ∈而数列{}n x 收敛，()∞→→-n a b n n 0则数列{}n a ,{}n b 必都收敛。

2． 若函数()x f 在R 上连续且有界，则()x f 在R 上必一致连续。