8.角的计算 (1)加法
48°39′25″+ 67°31′43″ 解:原式=(48°+ 67°)+(39′+ 31′)+(25″+43″) = 115°70′68″ =115°71′8″ =116°11′8″ (2)减法 90°-78°19′24″ 解:原式=89°60′ -78°19′24″ = 89°59′60″ -78°19′24″ =(89° -78°)+(59′- 19′)+(60″ - 24″) =11°+40′+36″ =11°40′36″ (3)乘法
.
A
.
B
.
C
.
D
AB=BC=CD= AD AD=3AB=3BC=3CD
(4)画一条线段等于已知线段 用尺规作图法 (5)两点的距离与线段的区别 两点的距离是指连接两点间的线段的长度,是一个数量; 而线段本身是图形.
(6)线段的和、差 a.线段的和 A B
C
.
.
.
AC=AB+BC b.线段的差
M
N
P
例如： 射线OA绕点O旋转，当终止位置OC 回到起始位置OA时，所成的角叫做 周角。如图：
3.角的三种表示方法
图标
(1)用三 个大写字 母表示 A .
记法
适用范围
备注
顶点O必须写 在中间。
O.
.
B
记作 任何角都可 ∠AOB 以用此法表 或∠BOA 示。
(2)用一 个大写字 母表示
A.
O. 1 . B
(2)性质 同角或等角的余角相等 ; 同角或等角的补角相等。 (3)表达式 若已知一个角为∠ ,则它的余角为: 90°- ∠ 它的补角为: 180°- ∠
已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30º ， 求∠α、∠β的度数．
35
5.方位角
四面八方：一般地我们规定，面向地图时“上北下南， 左西右东”；而“正东”和“正北”的角平分线方向记 为“东北” 方向；把“正东”和“正南”的角平分线方向记为“东 南”方向； 同理分别规定出“西北” 、“西南”方向。
（Ａ）
（B ）
（C）
（D）
9
直线、 射线、 线段
1.直线、射线、线段的区别和联系
(1)射线、线段都是直线的一部分,它们之间又有紧密 的 联系;在直线上取一点,可以将该直线分成两条射线, 取 两点可以得到一条线段和四条射线;把射线反向延长 或 者把线段两方延长就可以得到直线。 (2) 列表比较
图例 A 直线 B
北 D
60° 西 C 南 射线OA表示: 射线OB表示: 30° O
A 60° 50°
东
B 射线OC表示: 射线OD表示:
·
B A
·
14
2.线段的大小和比较
度量法
(1)线段的长短比较
叠合法 (2)线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中 点(middle point)。 例如:点B是线段AC的中点
.
A
.
B
.
C
则有:
AB=BC=
AC
AC=2AB=2BC
(3)线段的三等分点
把一条线段分成三条相等线段的两个点，叫做这条线 段的三等分点。
表示方法 (1)直线AB或直 线BA (字母无
特征 没有端点,无 始无终无方 向,看不见首 尾,无长度。
性质 两点确定 一条直线。
.
.
序)
(2)直线m
射线
O
F
.
n 线段 C . D . a
(1)射线OF(字母 一个端点,有 有序) 始无终有方 向,看得见首 (2)射线n 望不到尾,无 长度。 (1)线段CD或线 两个端点,有 段DC(字母无序) 始有终无方 向,看得见首 (2)线段a 尾,有长度。 两点之间, 线段最短。
2.角的和与差
(1)角的和 A
.
C.
∠AOC+∠COB= ∠AOB
O
.
.
B
(2)角的差 ∠MON-∠MOP= ∠PON
M
.
∠MON-∠PON= ∠MOP
O
.
.P .
N
即:两个角的和或差,其结果仍然是一个角。
(3)应用
利用一副三角板可以画小于平角的角( 11 )个 ,分别是:
15°、30°、45°、 60°、 75°、90°、105°、 120°、 135°、 150°、165°。 3.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线(angular bisector)。
A
C 图②
B
18
角的度量
1.角的描述式定义 角(angle)是由两条有公共端点的射线组成的 图形。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射 线叫做角的边。如图：∠AOB，∠α ，∠1
2.角的旋转定义 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角 的始边，终止位置的射线叫做角的终边。如图：∠ABC
角
钝角: 大于90度而小于180度的角 平角: 等于180度的角 周角: 等于360度的角
6.平角与直线 、 周角与射线 (1)平角的两边构成一条直线;直线上任取一点作为角的顶 点便可以得到一个平角。
(2)将射线绕着其端点旋转360度便可以得到一个周角。 7.角的表示方法 (1)弧度制 (2)密位制 (3)角度制 -------- 以度、分、秒为单位的角的度量制叫角度制。 1周角=360° 1°= 60′ 1′=( )° 1平角=180° 1′=60″ 1″=( )′
北
西北
东北
西
东
西南
东南
南
(1)方位角的表示 ----------通常先写北或南,再写偏东还是偏西。例如:“北偏东 35°”;“南偏西60°”等。 (2)方位角的应用
经常用于航空、航海、测绘中,领航员常用地图和罗盘进 行方位角的测定。
在下图中,射线OA、射线OB、射线OC、射线OD分别表示 什么方向?
图中共有几条线段？几条射线？几条直线？能用字 母表示出来的分别用字母表示出来.
A
B
C
13
1.判断下列说法是否正确： （1）延长射线OA； （2）直线比射线长，射线比线段长； （3）直线AB和直线CD相交于点m； （4）A、B两点间的距离就是连结A、B两点间的线段。
2.用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拔木条,木条能转动,这表 明 ;用两个钉子把细木条钉在木板上,就能固 定细木条,这说明 . 3.如图所示,一只蚂蚁要从圆柱体A点沿表面尽可能地爬到B点, 因为那里有它的食物,而它饿得快不行了,怎么爬行路线最短?
点、线段、射线、直线
*线和线相交的地方是点(point)。 *点通常表示一个物体的位置。例如，在交通图上用点
来表示城市的位置。 *直线上两个点和它们之间的部分叫做线段(line segment)，这两个点叫做线段的端点。 在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行 横道线都给我们以线段的形象。 *把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线（ray） 。 *把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线 （straight line）。
角的平分线
比较与运算
观察立体图形
角
公理
度分秒的运算
概念
直线射线线段
平面图形
立体图形
基本几何体
圆柱、棱柱、 圆锥、球等
区别与联系
点、线、面、体的关系
第四章 几何图 形初步
按柱、锥、球划分 (1) (2) 是一类，是柱体 (3)（4）是锥体 (5)是球体
4
柱 体

棱柱
圆柱
三棱柱
锥 体
射线旋转时经过的平面部分是角的内部，其余部分是角 的外部。 射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时 所成的角叫做平角(straight angle)。
例如： 射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直 线时，所成的角叫做平角，如图∠COA是平角。
射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时 所成的角叫做周角(perigon)。
) ° = 56.42°
10.钟表上时针、分针、秒针的转速
-------钟表被等分成12大格(每一大格其圆心角为 30°);每一大格又被等分成5小格(每一小格其圆心 角为6°)。
(1)时针: 一小时转30°,即一分 钟转0.5°。 (2)分针:一小时转360° ,即一分钟转6°。 (3)秒针:一分钟转360° ,即一秒钟转6°,一小时转 21600°。
11.用尺规作图法画一个角等于已知角
尺规作图法:只借助直尺(无刻度)和圆规作图的方法
例:作一个角等于∠AOB(如右图)
A
.
.
B
O
.
四、角的比较与运算
1.角的比较 (1) 角的大小与角的度数的大小是一致的 (2) 角的大小比较
与线段的长短比较方法一样,角的大小比较也有两 种方法: 度量法和叠合法。
七年级上学期数学期末
第四章 几何图形初步
从不同方向看立体图形
立体图形 平面图形 展开立体图形 直线、射线、线段
几 何 图 形 平面图形
角的度量
角 角的比较与运算 角的平分线
余角和补角
七年级上册第四章《几何图形初步》知识树
性质 左面看
余角和补角
上面看 辨认展开图
确定有标记 的相对面
展开与折叠
正面看
.
MN=MP-NP
.
NP=MP-MN
.
点A，B，C 在同一条直线上，AB＝3 cm，BC=1 cm．求AC的长．
解： （1）如图①，因AB＝3 ，BC＝1, 所以，AC＝AB＋BC＝3＋1＝4(cm)．A