求得：V1(1)

1 4
ax2
V1(2)

1 4
ay2
V2 a b(x2 y2 )
即： 2V2 x 2
bx2
2V2 y 2
by2
求得：V2(1)

1 12
bx4
V (2) 2

1 by4 12
V1

a 4
(x2

y2)
V2

b 12
(x2

y 2 )(x2

y2)
M 0

( Am cos m Bm sin m)0m
m0
c
a 4
02

b 12
0
4
c
os2
比较系数得：
A0

c

a 4

2 0
A2

b 12

2 0
Bm 0 Am 0 (n 0,2)
W
(
,
)

c

a 4

2 0

b 12

2 0

2
c os 2
u(,)
V
V1
V2

a 4
2
b 12
4
cos2
又设：u a 2 b 4 cos2 W
4 12
所以： W 0
而：
W
0 c
a 4
2
b 12
4 cos 2
在圆形区域上，由前面圆形区域的拉普拉斯方程
的通解可知：
W (,)

C0

D0
ln


本章中心内容
非齐次泊松方程转化为齐次方程的问题；
本章基本要求
掌握非齐次方程的求解方法及其物理意义
着重掌握方程齐次化的解题思路、解题步骤。 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法
泊松方程一般形式
u f (x, y, z)由于定解问题不含有初始条件，
不能应用冲量定理法求解，唯一的方法是把泊松 方程转化为拉普拉斯方程。 一般方法：先找出一个特解V，使得 V f (x, y, z)
a
本征函数：
X
n
(
x)

Cn
sin
n a
x
W (x, y)

n y
( Ane a
n1
n y
Bne a ) sin
n
a
x
代入边界条件得：

( An
n1
Bn ) sin
n
a
x
x(x a)

n b
( Ane a
n1
n b
Bne a ) sin
n
又设：u W V u W V
W 0 即可求解
例题3
求解定解问题：u
a u
b(x2 0 c
y2
)
0的圆内区域
解：先求出V的值，令： V a b(x2 y2 )
设：V1 a
即：2V1 a 2V1 a x2 2 y2 2
V (x, y) x2 ax x(a x)
c1 a
代入方程得： u(x, y) V (x, y) W (x, y)
本征值：

Wxx Wyy
0
W x0 0
W y0 x(x a)
W xa 0 W yb x(x a)
(n )2
a
x
x(x a)
将 x(x a) 展开为傅立叶正弦级数
cn

2 a
a x(x a) sin n
0
a
xdx

4a2
n3 2
[(1)n
1

A B c n b
n b
n
n
n Ane a Bne a cn
可求出方程的解

u y0 0
u xa 0 u yb 0
解： 令 u(x, y) V (x, y) W (x, y)
使得：V (x, y) 2 V (x, y) x2 c1x c2
代入边界条件得： V x0 c2 0 V xa a2 c1a 0

a 4
2

b 12

4
c os 2

c

a 4

2 0

b 12
02 2
c os 2

c

a 4
(
2


2 0
)

1 12
b
2
(
2


2 0
)
c os 2
例4：再矩形区域 0 x a,0 y b 上求解泊松方程的
定解问题：
u
xx
uyy

2
u x0 0

( Am
m1
cos m

Bm
sin
m)(Cm m

Dm
1
m
)
W (,) 在圆内区域应当有界 当： 0 时，
W (,) 有界 ，为边界条件叫自然边界条件
当： 0
时 ln
1
, m
为无穷大（舍去）
D0 0 Dm 0

W (,) ( Am cos m Bm sin m) m