x2 x
o
x1
x1 x2 2
x2 x
4
定理(凹凸判定法) 设函数
(1) 在 I 内
(2) 在 I 内 拐点：
在区间I 上有二阶导数
则
则
在 I 内图形是凹的 ;
在 I 内图形是凸的 .


定义2 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .
y
o
x
5
定理 (凹凸判定法) 设函数
(1) 在 I 内 则
22
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
1
0 12 3
23
例4. 描绘函数
27
5、设函数
由参数方程
确定， 的凹凸区间及拐点。
求 解
的极值和曲线
令 由
时
时
时 ，列表
28
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
x 3 2 y 2 y 2 xy 0
x 3 2y y 2( x 1) 1 4 y 1 2 y 4 y 2 xy 0 y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
20
3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x) k x]
x (或 x )
16
例1. 求曲线
的渐近线 .
x3 解: y , lim y , ( x 3)(x 1) x3
21
y 1 1 又因 lim , 即 k x x 4 4 2 ( x 3 ) 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim 2 ( x 3 ) x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 0 2 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 3 ( x 1 ) 4 4
10

x y x y 例5 求证 2 2
n
n
n
x 0, y 0, x y, n 1
证明： 因为不等式中同时含有 x, y 则用单调性证明
有困难，利用凹凸性证明
设 f (t ) t n t x, y 求证 f (t ) 在 (0, ) 是凹函数
f (t ) nt
n 1
f (t ) n(n 1)t
n2
0 t (0,)
f (t ) 是凹函数，必满足在 t (0,) 内取 x, y
n n x y x y 2 2
x y f ( x) f ( y ) f 2 n 2
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
7
例2. 求曲线
的拐点。
2 3
x 解: y 1 3
x
,
y x
2 9
5
3

2 9 x
3 5
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )

凸
的拐点 .
8
例3. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点。
y 12 x3 12 x 2 ,
例2. 描绘
2 y x 2 x x x 2 2) y 2 x 2 2 x 1 令 y 0 , 令 y 0 ,
解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
1
1 2 3
3)
x ( , 0) y y y
0 0
(0 ,1)
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得

f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( ) ) ( x1 ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 f ( ) f ( x2 ) f ( ) ) ( x2 ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
15
2. 斜渐近线 定义5 若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
(或 x 1)
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1 f ( x) x2 又因 k lim lim 2 x x x x 2 x 3
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
2
证明: 令 F ( x) sin x
x, 则 F (0) 0, F ( ) 0 2 2 F ( x) cos x
2

x.
F ( x)
F ( x) 是凸函数
0
F ( x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
17
三、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
18
从而三个拐点为
(1 , 1) , (2 3 , 1 3 ) , (2 3 , 1 3 ) 84 3 84 3 1 3 1 3 1 1 8 4 3 8 4 3 因为
2
2 3 1
3 1
所以三个拐点共线.
13
二、 曲线的渐近线
定义 3. 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上为凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) ( 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 为凸 , 3 27
9
例4
证明: 当 0 x

2
时， 有 sin x
1
0
4 3
(1, 2)



2 ( 2 , ) 0
2 3
2
4)
(极大) 3 1 x y 2 2 3
(拐点）
(极小)
19
例3. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1)
2) 求关键点 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定
1
(3 , )
义

0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
( x 3)( x 1) 2 ( x 3) 2 , y y , y 2 4( x 1) 4( x 1) ( x 1)3
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
(拐点)
24
y
1 2
e

x2 2
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )



(极大)
(拐点)
y
4) 求渐近线
lim y 0
x
1 2
y
1 2
e

x2 2
A
B
y 0 为水平渐近线
2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1)3
12
x 1 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) y 2 2 3 x 1 y ( x 1) 令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 , x3 2 3