交流电有效值的计算
江苏省新海高级中学 崔晓霞 222006
交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。
为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。
一、 正弦交流电有效值表达式的推导：
交流电的有效值是用它的热效应规定的，因此设法求出正弦交流电的热效应，才能求出其有效值，正弦交流电电压的瞬时值u =U m ·sinωt ，如果把这加在负载电阻R 上，它的瞬时电功率22cos 1sin 2222t R U t R U R u P m
m ⋅-⋅=⋅==ωω 其图像如图1所示．由微元法可知，P-t 图线和t 轴之间
所包围的面积就是功（图中打斜条的部分）．
不难看出，图中有斜条打△的部分和无斜条打△的部分面
积是相同的，因此打斜条部分的面积就是P =U 2m /2R 线和t 轴之
间的面积．设正弦交流电电压的有效值是U ，根据有效值的定义：R
U R U m 222= 可得：2/m U U = 同理可得：2/m I I =；2/m E E =
此关系式仅适用于正弦交流电，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？
二、非正弦交流电有效值的计算
例1. 如图2甲乙所示分别表示交变电流随时间变化的图象，则这两个交流电的有效值分别是 V 和 A 。
解析：对于图甲，该交变电流在每个周期T 内都可看作两个阶段的直流电流：前T /3中，U 1=100V ，后2T /3中，U 2=50V 。
在一个周期中，该交变电流在电阻R 上产生的热量为：
3250310032322222
1T R T R T R U T R U Q ⋅+⋅=+⋅= ① 设该交流电电压的有效值为U ，则上述热量T Q ⋅=R
U 2
②
联立①、②两式，可得有效值为V 250=U 对于图乙，从t ＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为I A 15=，
图1
图2 甲 乙
后半周期是有效值为I A 252=的交变电流。
设所求交变电流的有效值为I ，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得 I RT I R T I R T 2122222=+ 即I 22251252
12=⨯+⨯() 解得I A =532 点评：对于非正弦交流电，要从有效值从定义出发，根据热效应求解。
根据有效值的定义，可以选择计算交流电一个周期之内在某电阻上产生的热量，然后计算多大的直流电在该电阻上相等时间内产生相等的热量，该直流电的值就是交变电流的有效值。
练习1：如图3甲为电热毯的电
路图，电热丝接在U =311sin100πt(V)
的电源上，电热毯被加热到一定温
度后，通过装置P 使输入电压变为
图乙所示波形，从而进入保温状态，
若电热丝电阻保持不变，此时交流
电压表的读数是（ ） A. 110V B. 156V
C. 220V
D. 311V
答案：B
三、利用能量守恒求解变化电流的有效值
例2．如图4所示，ab 是半径不L ，电阻不计的1/4圆周的金属环，固定于竖直平面，圆心为o ，oa 是质量不计的金属杆，其电阻为r ，它的一端挂在
o 点(无摩擦)，另一端连一金属小球，小球的质量为m ，与
金属环接触良好无摩擦，ob 是一根竖直的与金属环相连接
的金属丝，其电阻为R ，上述整个装置置于水平方向垂直纸
面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现将金属小球从a
点由静止开始释放，它滑到b 点时的速度为v ，所经历的时
间为t ，问：(1)这一过程中，回路的平均感应电动势多大？
(2)这一过程中，感应电动势的有效值是多大？
解析：(1)小球下落过程中，oba 围成的面积减小，B 不变，
φ减小，有感应电动势。
t
B l t S t n 4B E 2π=∆∆∆∆Φ=＝ (2)由能量守恒可知，在小球下落过程中，重力势能的减小等于动能的增加和产生的热量，
故221mv Q mgl += ① t r R E Q +=2 ② 由①②得：)2
1(2mv mgl t r R E -+= 点评：交流电的峰值、有效值、平均值在应用上是有区别的
(1) 峰值：即最大的瞬时值，当线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线方向的轴匀速转动时，所产生感应电动势的峰值为εm =NBS ω，即仅由匝数N ，线圈面积S ，磁感强度B 和角速度ω四个量决定。
与轴的具体位置，线圈的形状及线圈是否闭合都是无关的。
峰值对纯电阻电路图3
来说，没有什么应用意义。
若对含电容电路，在判断电容器是否会被击穿时，则需考虑交流的峰值是否超过电容器的耐压值。
(2)有效值：交流的有效值是按热效应来定义的，对于一个确定的交流来说，其有效值是一定的。
在计算交流通过电阻产生的热功率时，只能用有效值；在实际应用中，交流电器铭牌上标明的额定电压或额定电流都是指有效值，交流电流表和交流电压表指示的电流、电压也是有效值，解题中，若题示不加特别说明，提到的电流、电压、电动势时，都是指有效值。
(3)平均值：由公式t
n ∆∆Φ=ε确定，其值大小由某段时间磁通量的变化量来决定，在不同的时间段里是不相同的。
如对正弦交流，其正半周或负半周的平均电动势大小为
π
ωεnBs T Bs n 22/2=⋅=，而一周期内的平均电动势却为零。
在计算通过导体的电量时，只能用平均值，而不能用有效值。