第五章 大数定律及中心极限定理注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得(){50}0.7250E X P X ≥≤= （2）2()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为：223{3240}1(364)10.75164P X P X <<=--≥≥-==2、解：()500,0.1i X B :，5005001211500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==⎛⎫⎪⎧⎫⎝⎭-<≥-==⎨⎬⎩⎭∑∑3、 解 ξ服从参数为的几何分布，11(),(2,3,4)2n P n n ξ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭L可求出2()()3,()2n E nP n D ξξξ∞=====∑于是令()2a b E ξ+=，2b aε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2()()1(())175%D P a b P E ξξξξεε<<=--≥≥-=从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()()()()()1,,n nnX n n n x F x P X x P X x X x F x a=≤=≤≤==L ，()0,x a ∈。

则()()()()()11nn n X n nx p x n F x p x a--==，()0,x a ∈。

()()101n n aX n nx n E x x dx a a n -=⋅=+⎰，()()()()21222121n n aX n nx n n D x x dx a a a n n n -⎛⎫=⋅-= ⎪+⎝⎭++⎰。

()()()222121n n n P X a a n n n εε⎧⎫-≥≤⎨⎬+++⎩⎭， 所以(){}lim 0n n P X a ε→∞-≥=。

5、 解 服从大数定律。

由题意得：()2/32/32/3{},()()!kii i i i e P X k E X D X i k -====由1/32/32221111111()()0nn n n i i i i i D X D X i n n n n ->∞===⎛⎫==≤−−−→ ⎪⎝⎭∑∑∑根据马尔科夫大数定律，可判断该序列服从大数定律的。

6、解：（1）()2h x x =，则()h x 连续。

()()22211E h X EX σμ==+<∞，则0ε∀>，有()22211lim 0n i n i P X n σμε→∞=⎧⎫-+≥=⎨⎬⎩⎭∑，则()22211n p i i X n σμ=−−→+∑，()n →∞。

（2）()()2h x x μ=-连续，()()()2211E h X E X μσ=-=<∞，则0ε∀>，有()2211lim 0n i n i P X n μσε→∞=⎧⎫--≥=⎨⎬⎩⎭∑，则()2211n p i i X n μσ=-−−→∑，()n →∞。

（3）12122211lim pnnnnn iii i X X X X X X EXX→∞==++++++−−→∑∑L L12pn X X X X n μ+++=−−→L ，()()2222111np i i X n S nX n n σμ==-+−−→-+∑，故()12222221lim1pnnn ii X X X n n n Xμμσμσμ→∞=+++−−→=-++∑L(4)原式依概率收敛，即lim pn E→∞−−→lim lim n n nX →∞→∞=n XS=)n Sμ=+n Sμ= E Sμ=μσ=7 解 （1）由题意得：221111{}1110n n i i i i P X a P X a n n εε==⎧⎫-≥=--<=-=⎨⎬⎩⎭∑∑根据推论，可求得22122()x a E X x e dx λλλ∞-===⎰（2）由题意得：211(),()i i E X D X λλ==，100100100211112111(),()()5050250025i i i i i i E X D X D X λλ======∑∑∑ 根据中心极限定理，可知10021121~(,)5025ii X N λλ=∑ （3） 2224224(),()i i E X a D X λλ===，利用中心极限定理，可知10022411224~(,)100100ii X N λλ=∑ 从而10022112{}0.5100i i P X λ=≤=∑8、解：()500,150X N -:近似地，()()()506016010.210.27.9%50X P P X P X P -⎛⎫=>=-≤=-≤=-Φ= ⎪⎝⎭9、解 （1）由题意得：记{}20.95 1.050.95 1.05 1.122p P X =<<=--，引入随机变量 10,i i Y i ⎧=⎨⎩L ，第次试验中该事件发生，i=1,2,3第次试验中该事件不发生，且(1)i P Y p ==于是1n ii Y Y ==∑服从二项分布：1001001001()()(1)n k k ii P Y k P Y k Cp p -=====-∑方法一：（Y 的精确分布）10099(2)1(0)(1)1(1)100(1)99.756%P Y P Y P Y p p p >=-=-==----=方法二（泊松分布）Y 近似服从参数为100p 的泊松分布100100(2)1(0)(1)110099.66%p p P Y P Y P Y e pe -->=-=-==--=方法三：（中心极限定理）Y 近似服从(100,100(1))N p p p -于是：(2)1(2)199.55%P Y P Y >=-≤=-Φ=（2）设至少需要n 次观察 记133224q P X ⎧⎫=<<=⎨⎬⎩⎭，这时(1)i P Y q ==于是1ni i Y Y ==∑近似服从(,(1))N nq nq q -95%(80)1P Y P ≤≥=≥=-Φ1.65≈，从而求得n=11710、解：1,0.3,2,0.5,3,0.2. X⎧⎪=⎨⎪⎩10.320.500.2 1.3EX=⨯+⨯+⨯=，2220.30.30.70.5 1.30.20.61 DX=⨯+⨯+⨯=，()80011.30,1iXN-∑:近似地，则8008001110001.3 1.31000iiiXP X P=⎛⎫--⎪⎛⎫>=>⎪⎝⎭∑∑()1.8196.48%=Φ=11 、解（1）由题意得，引入随机变量101000,0iiXi⎧=⎨⎩L，第名选手得分，i=1,2,3，第名选手不得分，且(1)0.3iP X==所求的概率为：100100110.33586.21%iiiXP X P=-⎛⎫≤=≤=Φ=⎪⎝⎭∑∑（2）用iX表示第i名选手的得分，则23(0)0.2,(1)0.2*0.80.16(2)0.2*0.80.128,(4)0.80.512i ii iP X P XP X P X===========并且() 2.464,() 2.793i iE X D X==1002.464*100~(0,1)iXN-∑，于是所求的概率为：1001(220)1(1.58)94.3%iiP X=≥=-Φ=Φ=∑。