集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算考纲1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．,整知识1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(1)集合关系图解真子集集合相等A＝B(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集悟方法1．集合的运算性质并集的性质：交集的性质：补集的性质：2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．3．数形结合思想数轴和V enn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．测基础1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)．()(2)．()(3)在集合中，可用符号表示为．()(4)N⊆N A AA⊆Z.()(5)若，则A＝B＝C．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．已知集合，则( )解析： 解答案： B3．(2015·山东卷)已知集合，则＝( )解析： 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝(2,3)，故选C ． 答案： C4．(2015·湖南卷)已知集合则＝________.解析：答案：5．已知集合若，则＝________.解析： 由知 log2n ＝m n ＝1，或log2n ＝1，n ＝m ， ∴n ＝1m ＝0，或n ＝2.m ＝2， 答案： -1或0考向1. 集合的基本概念1．设集合A ＝{-1,0,2}，集合B ＝{-x |x ∈A 且2-x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{-2} C ．{-1，-2} D ．{-1,0}解析： 当x ＝-1时，2-x ＝3∉A ，此时-x ＝1∈B ， 当x ＝0时，2-0＝2∈A ， 当x ＝2时，2-2＝0∈A ， 所以B ＝{1}，故选A ． 答案： A2．已知集合M ＝{1，m +2，m 2+4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或-1 B ．1或3 C ．-1或3 D ．1，-1或3解析： ∵5∈{1，m +2，m 2+4}，∴m +2＝5或m 2+4＝5， 即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1,5,13}；当m ＝1时，M ＝{1,3,5}； ∴m 的值为3或1. 答案： B 3．已知集合，若A ＝ϕ，则实数a 的取值范围为________．解析： ∵A ＝ϕ，∴方程ax 2-3x +2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝32不合题意， 当a ≠0时，Δ＝9-8a <0，∴a >89. 答案： ，＋∞9[归纳升华] 解决集合问题的一般思路(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．2. 集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |y ＝，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )(2)已知集合，若，则实数m 的取值范围为________． 解析：(1)由题意知(2) ∴①若，则此时②若B ≠ϕ，则2m －1≤5.m ＋1≥－2，解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)B (2)(-∞，3] [跟踪训练]1．已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a -2)(a 2-3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个解析： |a |≥2⇒a ≥2或a ≤-2.又a ∈M ，(a -2)(a 2-3)＝0⇒a ＝2或a ＝±(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个，选B ． 答案： B2．设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }＝，b b，则b -a ＝( ) A ．1 B ．-1 C ．2D ．-2解析： 因为{1，a +b ，a }＝，b b ，a ≠0，所以a +b ＝0，则a b＝-1，所以a ＝-1，b ＝1.所以b -a ＝2.答案： C3. 集合的基本运算(1)(2015·天津卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]解析： (1)由题意得∁U B ＝{2,5,8}， ∴A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．(2)由x 2-2x ≥0，得x ≤0或x ≥2，即P ＝{x |x ≤0或x ≥2}，所以∁R P ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．又Q ＝{x |1<x ≤2}＝(1,2]，所以(∁R P )∩Q ＝(1,2)． 答案： (1)A (2)C1．(2015·安徽合肥模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2-2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 解析： 由x 2-2x >0得x >2或x <0， 即B ＝{x |x <0，或x >2}， ∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |0≤x ≤1}． 答案： C2．(2015·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝，x ∈R 1，B ＝{-2，-1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{-2，-1} B ．(∁R A )∪B ＝(-∞，0)C ．A ∪B ＝(0，+∞)D ．(∁R A )∩B ＝{-2，-1}解析： 因为A ＝(0，+∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y >0或y ＝-1，-2}，(∁R A )∩B ＝{-1，-2}．所以D 正确． 答案： D3.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9}解析： 因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ．若5∈A ，则5∉B (否则5∈A ∩B )，从而5∈∁U B ，则(∁U B )∩A ＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A ．同理1∉A,7∉A ，故A ＝{3,9}． 答案： D4．(2015·江西南昌调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2-2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．[-1,2]C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-∞，-1]∪[2，+∞)解析： 因为A ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |-1≤y ≤1}＝[-1,1]，所以A ∪B ＝[-1,2]，所以∁R (A ∪B )＝(-∞，-1)∪(2，+∞)． 答案： C5．(2015·新乡市一中月考)设集合A ＝{x ||x -a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝ϕ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解析： |x -a |<1⇔-1<x -a <1⇔a -1<x <a +1，又B ＝{x |1<x <5}，A ∩B ＝ϕ，故a +1≤1或a -1≥5，即a ≤0或a ≥6. 答案： C[归纳升华] 集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．追踪集合中的新定义以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．(1)(2015·辽宁铁岭期末)对于集合M 、N ，定义M -N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M -N )∪(N -M )，设A ＝，x ∈R 9，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A ．，09B ．，09C ．49∪[0，+∞)D ．49∪(0，+∞)(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则-x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2+x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.解析： (1)依题意得A -B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B -A ＝，x ∈R 9，故A ⊕B ＝49∪[0，+∞)． (2)由题意可知-2x ＝x 2+x ，所以x ＝0或x ＝-3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝-3时，A ＝{-6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}． 答案： (1)C (2){0,6} [跟踪训练](2015·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ．则集合A ＝________.(用列举法表示)解析： 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}． 答案： {a 2，a 3}[名师点评] 解决集合中新定义问题的两个关键点 (1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中． (2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．A 级 基础训练1．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n +2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析： 集合A 中元素满足x ＝3n +2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D ． 答案： D2．已知集合A ＝∈Z 3，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析： ∵2－x 3∈Z,2-x 的取值有-3，-1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，-1，故集合A 中的元素个数为4， 故选C ． 答案： C3．已知集合A ＝{-1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠ϕ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0) B ．(0,1) C ．{1} D ．(1，+∞)解析： 由题意可知，a ∈B ，即0<a <1. 答案： B 4．(2015·河南洛阳二模)集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x +1)]}，若A -B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A -B ＝( )A ．{x |x <-1}B ．{x |-1≤x <0}C ．{x |-1<x <0}D ．{x |x ≤-1} 解析： 由，可知x >0或x <-1，故故A -B ＝[-1,0)．答案： B5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )解析： ∵x 2-3x +2>0，∴x >2或x <1. ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∵∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D ． 答案： D6．已知集合A ＝{x |x 2-2x +a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵1∉{x |x 2-2x +a >0}，∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0}， 即1-2+a ≤0，∴a ≤1. 答案： (-∞，1]7．已知集合A ＝{x |y ＝}，B ＝<2x<41，则(∁R A )∩B 等于________．解析： 因为A ＝{x |y ＝}＝{x |x ≥0}，所以∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝<2x<41＝{x |-1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |-1<x <0}．答案： {x |-1<x <0}8．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若任意x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有________个．解析： 当A ＝{1}时，B 有23-1＝7种情况， 当A ＝{2}时，B 有22-1＝3种情况， 当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22-1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，∴满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+1+1+1＝17个． 答案： 17 9．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |-a <x ≤a +3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 解析： 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A ． ①当C ＝ϕ时，满足C ⊆A ， 此时-a ≥a +3，得a ≤-23；②当C ≠ϕ时，要使C ⊆A ，则a ＋3<5，－a≥1，解得-23<a ≤-1.答案： (-∞，-1]10．已知集合A ＝{-4,2a -1，a 2}，B ＝{a -5,1-a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ．解析： (1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a -1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝-3.当a ＝5时，A ＝{-4,9,25}，B ＝{0，-4,9}；当a ＝3时，a -5＝1-a ＝-2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝-3时，A ＝{-4，-7,9}，B ＝{-8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝-3.(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{-4,9}，不合题意， 当a ＝-3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝-3.11．已知集合A ＝{x |x 2-2x -3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m -2≤x ≤m +2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： A ＝{x |-1≤x ≤3}，B ＝{x |m -2≤x ≤m +2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＋2≥3，m －2＝1，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x <m -2或x >m +2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m -2>3或m +2<-1. ∴m >5或m <-3.故m 的取值范围为(-∞，-3)∪(5，+∞)．12．已知集合A ＝{y |y ＝2x -1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x -a )[x -(a +3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠ϕ.解析：因为集合A是函数y＝2x-1(0<x≤1)的值域，所以A＝(-1,1]，B＝(a，a+3)．a≤－1，(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔a＋3>1，即-2<a≤-1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(-2，-1]．(2)当A∩B＝ϕ时，结合数轴知，a≥1或a+3≤-1，即a≥1或a≤-4.故当A∩B≠ϕ时，a的取值范围是(-4,1)．B 级 能力提升1．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ai aj 两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析： 由于3×4与34均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，26，36，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知ai aj 需有意义，故不能为0，同时不一定有1，故C ，D 错误，选B ．答案： B2．已知集合A 满足条件：当p ∈A 时，总有p ＋1－1∈A (p ≠0且p ≠-1)，已知2∈A ，则集合A的子集的个数至少为________．解析： 依题意，2∈A ，所以2＋1－1＝-31∈A ，从而＋11＝-23∈A ，＋13＝2∈A ，故A 中至少有2，-31，-23三个元素，则集合A 的子集的个数至少为23＝8.答案： 83．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1-m }．(1)当m ＝-1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．(3)若A ∩B ＝ϕ，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝-1时，B ＝{x |-2<x <2}，则A ∪B ＝{x |-2<x <3}．(2)由A ⊆B 知1－m≥3，2m≤1，解得m ≤-2，即实数m 的取值范围是(-∞，-2]．(3)由A ∩B ＝ϕ，得①若2m ≥1-m ，即m ≥31时，B ＝ϕ，符合题意；②若2m <1-m ，即m <31时，需1－m≤1，或2m≥3，，得0≤m <31或ϕ，即0≤m <31.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，+∞)．。