湘教版九年级数学上册单元测试题第1章测试卷1．下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是( )A ．y ＝2x －13B ．y ＝1x －1C ．y ＝－1x 2D ．y ＝12x2．如果点(3，－4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( )A ．(3，4)B ．(－2，－6)C ．(－2，6)D ．(－3，－4)3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I (A)与电阻R (Ω)成反比例函数关系．如图所示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，当电阻R 为5Ω时，电流I 为( ) A ．6 A B ．5 A C ．1.2 A D ．1 A4．已知反比例函数y ＝3x ，下列结论中不正确的是( )A ．图象经过点(－1，－3)B ．图象在第一、三象限C ．当x ＞1时，0＜y ＜3D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大5．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x 的图象无交点，则有( )A ．k 1＋k 2＞0B ．k 1＋k 2＜0C ．k 1k 2＞0D ．k 1k 2＜06．已知点A (－1，y 1)，B (2，y 2)都在双曲线y ＝3＋mx 上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( )A ．m <0B ．m >0C ．m >－3D ．m <－37．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝k －1x 的图象不可能是( )8．如图，分别过反比例函数y ＝2x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1与S 2的大小关系是( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定9．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1的值为( ) A ．4 B.143 C.163 D ．610．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝x ，CD ＝y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图②所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝3时，EC <EM B ．当y ＝9时，EC >EM C ．当x 增大时，EC ·CF 的值增大 D ．当y 增大时，BE ·DF 的值不变二、填空题(每题3分，共24分)11．已知反比例函数y ＝k －1x (k 是常数，k ≠1)的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是________．12．若点(2，y 1)，(3，y 2)在函数y ＝－2x 的图象上，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．13．若反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝mx 的图象的一个交点的坐标为(1，2)，则它们另一个交点的坐标为____________．14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示，则当气球内气体体积V (m 3)的范围是0.8＜V ＜2时，气体的压强p (kPa)的范围是________．15．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．16．如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴的正半轴上(点A与点O重合)，AB＝3，BC ＝1，连接AC，BD，交点为M.将矩形ABCD沿x轴向右平移，当平移距离为________时，点M在反比例函数y＝1x的图象上．17．如图，过原点O的直线与两个反比例函数的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝1x，则y2与x的函数表达式是____________．18．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x 轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的序号是____________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2.(1)求y与x的函数表达式；(2)当x＝5时，求y的值．20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(－4，－2)和B(a，4)．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)根据图象回答，当x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值？21．如图，已知反比例函数y＝kx的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝kx的图象上，当－3≤x≤－1时，求y的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在y轴，x轴上，点B的坐标为(4，2)，直线y＝－12x＋3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y＝kx的图象经过点M，N.(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．23．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(℃)和通电时间x(min)之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数表达式；(2)求出图中a的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40 ℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？24．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为2.(1)求k的值．(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.D6．D 解析：由题意知，反比例函数图象在第二、四象限，所以3＋m <0，即m <－3. 7．D8．C 解析：∵点A ，B 均在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，∴S △AOC ＝S △BOD ＝1.由题图可知，△AOC 与△BOD 有一个公共部分△COE ，因此△AOE 与梯形ECDB 的面积相等，即S 1＝S 2，故选C.9．A 解析：设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，k 1m ，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，k 1n ，则C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，k 2m ，D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，k 2n ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝103，k 1－k2m ＝2，解得k 2－k 1＝4.k 2－k 1n＝3， 10．D二、11.k ＜1 12.<13．(－1，－2) 解析：∵反比例函数y ＝kx 的图象关于原点成中心对称，一次函数y ＝mx 的图象经过原点，且关于原点成中心对称， ∴它们的交点也关于原点成中心对称．∵点(1，2)关于原点成中心对称的点为(－1，－2)， ∴它们另一个交点的坐标为(－1，－2)． 14．48<p <12015．y ＝12x 解析：连接OA ，则△ABP 与△ABO 的面积相等，都等于6，∴反比例函数的表达式是y ＝12x .16.12 解析：将矩形ABCD 沿x 轴向右平移后，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝32，ME ＝12BC ＝12.设OA ＝m ，则OE ＝OA ＋AE ＝m ＋32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋32，12.∵点M 在反比例函数y ＝1x 的图象上， ∴12＝1m ＋32，解得m ＝12.17．y 2＝4x 18.①③④三、19.解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝k x －1， 由题意得2＝k－5－1，解得k ＝－12.∴y 与x 的函数表达式为y ＝－12x －1. (2)当x ＝5时，y ＝－12x －1＝－125－1＝－3.20．解：(1)设反比例函数表达式为y ＝kx (k ≠0)，∵反比例函数图象经过点A (－4，－2)，∴－2＝k －4， ∴k ＝8.∴反比例函数表达式是y ＝8x .∵点B (a ，4)在函数y ＝8x 的图象上，∴4＝8a ，∴a ＝2. ∴点B 的坐标为(2，4)．(2)根据图象得当x >2或－4<x <0时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21．解：(1)∵△AOB 的面积为2，且反比例函数的图象在第一、三象限，∴k ＝4，∴反比例函数表达式为y ＝4x . ∵A (4，m )，∴m ＝44＝1.(2)∵当x ＝－3时，y ＝－43；当x ＝－1时，y ＝－4. 又∵反比例函数y ＝4x 在x <0时，y 随x 的增大而减小，∴当－3≤x ≤－1时，y 的取值范围为－4≤y ≤－43. 22．解：(1)由题意易得点M 的纵坐标为2.将y ＝2代入y ＝－12x ＋3，得x ＝2.∴M (2，2)．把点M 的坐标代入y ＝kx ，得k ＝4， ∴反比例函数的表达式是y ＝4x . (2)由题意得S △OPM ＝12OP ·AM ，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC －S △AOM －S △CON ＝4×2－2－2＝4，S △OPM ＝S 四边形BMON ， ∴12OP ·AM ＝4.又易知AM ＝2，∴OP ＝4.∴点P 的坐标是(0，4)或(0，－4)． 23．解：(1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20. ∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20. 当8＜x ≤a 时，设y ＝k 2x ，将(8，100)代入y ＝k 2x ， 得k 2＝800.∴当8<x ≤a 时，y ＝800x .综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20； 当8＜x ≤a 时，y ＝800x .(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40. (3)当y ＝40时，x ＝80040＝20.∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．24．解：(1)∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，∴S △AOC ＝S △BOC ＝12S △ABC ＝1. ∵AC ⊥x 轴，∴k ＝2.(2)假设存在这样的点D ，设点D 的坐标为(m ，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝2x，解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－1，y 2＝－2.∴A (1，2)，B (－1，－2)． ∴AD ＝（1－m ）2＋22， BD ＝（m ＋1）2＋22， AB ＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝2 5.当D 为直角顶点时， ∵AB ＝25，∴OD ＝12AB ＝ 5.∴点D 的坐标为(5，0)或(－5，0)． 当A 为直角顶点时， 由AB 2＋AD 2＝BD 2，得(2 5)2＋(1－m )2＋22＝(m ＋1)2＋22，解得m ＝5，即D (5，0)． 当B 为直角顶点时，由BD 2＋AB 2＝AD 2，得(m ＋1)2＋22＋(2 5)2＝(1－m )2＋22，解得m ＝－5，即D (－5，0)．∴存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形，点D 的坐标为(5，0)或(－5，0)或(5，0)或(－5，0)．第2章测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．9x ＋2＝0B ．z 2＋x ＝1C ．3x 2－8＝0 D.1x ＋x 2＝0 2．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后为( )A ．(x －4)2＝17B ．(x ＋4)2＝15C ．(x ＋4)2＝17D ．(x －4)2＝153．将方程x (x －1)＝4(x ＋1)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数与常数项之和为( )A ．0B ．10C ．4D ．－84．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx －8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m 的值分别为()A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，25．下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－26．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为() A．9人B．10人C．11人D．12人7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是() A．－1或5 B．1 C．5 D．－18．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是()A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第()象限．A．四B．三C．二D．一(第10题)10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于()A．0.5 cm B．1 cmC．1.5 cm D．2 cm二、填空题(每题3分，共24分)11．若方程(a－2)x|a|＋3ax＋1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是________．12．已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝________.13．某市加大了对雾霾的治理力度，2019年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x ，根据题意可列方程为________________________． 14．关于x 的两个方程x 2－4x ＋3＝0与1x －1＝2x ＋a有一个解相同，则a ＝________. 15．已知a ，b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab ＝________．16．如图，一个矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 cm ，容积是500 cm 3的无盖长方体容器，那么这块铁皮的长为__________，宽为__________．(铁皮厚度忽略不计)17．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a 2－ab （a ≥b ），ab －b 2（a ＜b ）.例如：4⊗2，因为4＞2，所以4⊗2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1⊗x 2＝________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以 2 cm/s 的速度向点D 运动．设△AB P 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t s(0<t <8)，则t ＝________时，S 1＝2S 2.三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分) 19．用适当的方法解下列方程．(1)x 2－4x －1＝0; (2)x 2－1＝2(x ＋1)；(3)x2＋3x＋1＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.20.已知关于x的方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根．(1)求k的值；(2)求此时方程的根．21．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．22．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．(1)填表(不需化简)：(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元．那么第二个月的单价应是多少元？23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向点B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 2 cm?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．24．某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动．方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？答案一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.C6．C解析：设参加酒会的人数为x人，根据题意得12x(x－1)＝55，整理，得x2－x－110＝0，解得x1＝11，x2＝－10(不合题意，舍去)．所以参加酒会的人数为11人．7．D8.C9.D10．B解析：设AC交A′B′于H.∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，∴△AA′H是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.故选B.二、11.－212.213．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260解析：根据题意知，第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元．∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.14．1解析：由方程x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0.解得x1＝1，x2＝3.当x＝1时，分式方程1x－1＝2x＋a无意义；当x＝3时，13－1＝23＋a，解得a＝1.经检验，a＝1是方程13－1＝23＋a的解．15．－116.30 cm；15 cm17．3或－3解析：x2－5x＋6＝0的两个根为x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2.当x1＝2，x2＝3时，x1⊗x2＝2×3－32＝－3；当x1＝3，x2＝2时，x1⊗x2＝32－2×3＝3.18．6解析：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8 2 cm.又∵AP＝2t cm，∴S1＝12AP·BD＝12×2t×8 2＝8t(cm2)，PD＝(8 2－2t)cm.易知PE＝AP＝2t cm，∴S2＝PD·PE＝(8 2－2t)·2t cm2.∵S1＝2S2，∴8t＝2(8 2－2t)·2t.解得t1＝0(舍去)，t2＝6.三、19.解：(1)(配方法)移项，得x2－4x＝1，配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，因此(x－2)2＝5，所以x－2＝5或x－2＝－5，解得x1＝5＋2，x2＝2－ 5.(2)(因式分解法)移项，得x2－1－2(x＋1)＝0，因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.(3)(公式法)a＝1，b＝3，c＝1，所以b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0，所以x＝－3±52，所以x1＝－3＋52，x2＝－3－52.(4)(因式分解法)原方程可变形为y2－2y＝0，y(y－2)＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.20．解：(1)由题意得Δ＝(k ＋2)2－4×4×(k －1)＝k 2＋4k ＋4－16k ＋16＝k 2－12k ＋20＝0，解得k ＝2或k ＝10. (2)当k ＝2时， 原方程变为4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，即x 1＝x 2＝12；当k ＝10时，原方程为4x 2－12x ＋9＝0，(2x －3)2＝0， 即x 1＝x 2＝32.21．(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－p 2－p )＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值此方程总有两个实数根． (2)解：∵原方程的两根为x 1, x 2， ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p . ∵x 21＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1， ∴52－3(6－p 2－p )＝3p 2＋1， ∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1， ∴3p ＝－6， ∴p ＝－2.22．解：(1)第一行填80－x ；第二行依次填200＋10x ；800－200－(200＋10x )．(2)根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9 000.整理，得x 2－20x ＋100＝0. 解这个方程，得x 1＝x 2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝70＞50. 所以第二个月的单价应是70元．23．解：(1)设t s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝(6－t )cm ，BQ ＝2t cm ，∵∠B ＝90°， ∴12(6－t )×2t＝8，解得t 1＝2，t 2＝4，∴2 s 或4 s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2.(2)设出发x s 后，PQ ＝4 2 cm ，由题意，得(6－x )2＋(2x )2＝(42)2，解得x 1＝25，x 2＝2，故出发25 s 或2 s 后，线段PQ 的长为42 cm.(3)不能．理由：设经过y s ，△PBQ 的面积等于10 cm 2，则12×(6－y )×2y ＝10，即y 2－6y ＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4×10＝－4＜0， ∴△PBQ 的面积不能等于10 cm 2. 24．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，220×40＝8 800(元)．答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元． (2)240－(52－30)×2＝196(元)， ∵196＜200， ∴每张门票200元． 200×52＝10 400(元)．答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元． (3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元， ∴每张门票的价格高于200元且低于240元．设三班参加春游的学生有x 名，则每张门票的价格为[240－2(x －30)]元， 根据题意，得[240－2(x －30)]x ＝9 450，整理，得x 2－150x ＋4 725＝0，解得x 1＝45，x 2＝105， ∵240－2(x －30)＞200， ∴x ＜50.∴x ＝45.答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．第3章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A ＝40°，∠B ＝60°，则∠C ′等于( )A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°2．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF 等于( )A.13B.12C.23D ．13．下列四组线段中，不是成比例线段的为( )A ．3，6，2，4B ．4，6，5，10C ．1，2，3， 6D ．2，5，23，154．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形5．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，为计算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上，若测得BE ＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)9．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝13FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于()A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：210．已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm 的细木条各一根，做一个与△ABC相似的三角形木架，要求以其中一根为一边，将另一根截下两段(允许有余料)作为另外两边，那么另两边的长度分别为()A．10 cm，25 cm B．10 cm，36 cm或12 cm，36 cmC．12 cm，36 cm D．10 cm，25 cm或12 cm，36 cm二、填空题(每题3分，共24分)11．已知c4＝b5＝a6≠0，则b＋ca＝________.12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件____________使得△ADE∽△ACB.13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE 于点G，CF＝1，则BC＝______，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD 的面积之比为________．15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA＝43，则F GBC＝________．16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．17．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE ∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC 与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则S n＝______________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．22．如图，竖立在B处的标杆AB＝2.4米，在F处的观测者从E处看到标杆顶端A、树顶C 在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8米，FB＝2.5米，EF＝1.5米，求树高CD.23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________．②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为__________．(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B7．B 解析：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. ∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE . ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m. 8．B9．B 解析：设AB 与OF 相交于点M ， ∵AF ∥OB ， ∴△FAM ∽△OBM ， ∴OM FM ＝BM AM ＝BO AF ＝12.设S △BOM ＝S ，则S △AOM ＝2S ， ∵OC ＝13FO ，OM ＝12FM ， ∴OM ＝OC .∴S △AOC ＝S △AOM ＝2S ， S △BOC ＝S △BOM ＝S .∴S △ABO ：S △AOC ：S △BOC ＝3：2：1.10．D 解析：如果从30 cm 长的一根中截，那么60 cm 长的一根只能作为最长边，而△ABC 的最长边也为60 cm ，且另两边长之和大于30 cm ，所以不符合题意．如果从60 cm 长的一根中截，设截得的短边和长边的长分别为x cm ，y cm ，那么有三种情况，即20：30＝50：x ＝60：y 或20：x ＝50：30＝60：y 或20：x ＝50：y ＝60：30，解得x ＝75，y ＝90(x ＋y ＞60，不符合题意，舍去)或x ＝12，y ＝36或x ＝10，y ＝25.故选D. 二、11.3212．∠D ＝∠C (答案不唯一)13．S 1＝S 2 解析：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ， ∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2, S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ， ∴S 1＝S 2.14．2；1：2；1：6 15.47 16.6017 解析：∵四边形CDEF 是正方形， ∴CD ＝ED ，DE ∥CF ，设ED ＝x 步，则CD ＝x 步，AD ＝(12－x )步， ∵DE ∥CF ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴ED BC ＝AD AC ，∴x 5＝12－x 12，∴x ＝6017.∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017步． 17.65或3 解析：如图． ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10，当PD ＝AD ＝8时，BP ＝BD －PD ＝2， ∵△PBE ∽△DBC ， ∴BP BD ＝PE CD ，即210＝PE 6， 解得PE ＝65，当P ′D ＝P ′A 时，点P ′为BD 的中点，∴P ′E ′＝12CD ＝3， 当PA ＝AD 时，显然不成立． 故答案为65或3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n 解析：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3， 根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ， ∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S .同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，…. ∵S ＝12×1×3＝32， ∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，Sn ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .三、19.解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴∠H ＝∠D ＝95°. ∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°. ∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴BC FG ＝ABEF ，∴x ∶7＝12∶6，解得x ＝14. 20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6. 21．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5.∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝AC2－CD2＝12.由(1)中△BDE∽△CAD可知DEAD＝BDAC，得DE12＝513，故DE＝6013.22．解：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，如图所示．由题意得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD.∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，∴AG＝AB－GB＝2.4－1.5＝0.9(米)．∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴AGCH＝EGEH，∴0.9CH＝2.52.5＋8，解得CH＝3.78米，∴CD＝CH＋DH＝3.78＋1.5＝5.28(米)．答：树高CD为5.28米．23．解：(1)①2②95或52(2)相似．理由：连接CD交EF于点O.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝12AB，∴∠DCB＝∠B，由折叠知∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°，∴∠B＋∠CFE＝90°.∵∠CEF＋∠CFE＝90°，∴∠B＝∠CEF.在△CEF和△CBA中，∠ECF＝∠BCA，∠CEF＝∠B，∴△CEF∽△CBA.24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝12AC.∵∠B＝90°，∴AC＝82＋42＝4 5，∴AE＝CE＝2 5，∴AEBD＝2 54＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4 5，CE＝2 5，CD＝4，∴AEBD＝AC＋CEBC＋CD＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴CECA＝CDCB，∠EDC＝∠B＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CECA＝CDCB仍然成立．∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.∴AEBD＝ACBC.由(1)可知AC＝4 5.∴ACBC＝4 58＝52.∴AEBD＝52.∴AEBD的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 5；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.又知DE＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝12 55.综上，BD 的长为4 5或12 55.第4章测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．2cos 60°的值是( ) A ．1B. 3C. 2D.12 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，则sin A 的值是( ) A.45B.35C.34D.133．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在网格的格点上，则tan ∠ABC 的值为( ) A.35B.34C.105D ．14．已知α为锐角，且sin(90°－α)＝32，则α的度数为( ) A ．30° B ．60°C ．45°D ．75°5．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．23 m B ．26 m C ．(23－2)m D ．(26－2)m6．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则cos ∠EFC 的值是( ) A.34B.43C.35D.457．如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( ) A ．1003 m B ．502 m C ．503 m D.10033 m8．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值为( ) A.34B.43C.35D.459．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝10.75，坡长为10米的斜坡CD到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E (A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为( )(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45) A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米二、填空题(每题3分，共24分)11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则cos B ＝________．12．如图，点A (3，t)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是直角边BC 上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B的值为________．14．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝________． 15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′＝________.16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.17．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________________．18．如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分) 19．计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3 6，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC .(1)求证：四边形DECF 是平行四边形；(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22．如图，甲建筑物AD 和乙建筑物BC 的水平距离AB 为90 m ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E (A ，E ，B 在同一水平线上)点测得D 点的仰角为30°，测得C 点的仰角为60°.求这两座建筑物顶端C ，D 间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)23．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B 到小山坡脚D 的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i＝1∶1.875，同时他测得自己的影长NH＝336厘米，而他的身高MN为168厘米，求铁塔的高度．24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，海岸线MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离(结果保留根号)．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)答案一、1.A 2.A 3.B 4.A5．B 解析：在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin 60°＝4×32＝2 3(m )，在Rt △ACD 中，AC ＝ADsin 45°＝2 322＝26(m)，故选B.6．D 7.A8．B 解析：如图，连接BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4.又BC ＝5，CD ＝3， ∴CD 2＋BD 2＝BC 2.∴△BDC 是直角三角形，且∠BDC ＝90°. ∴tan C ＝BD CD ＝43.9．D 解析：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，∴∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②， sin (180°－∠BAC )＝12， ∴180°－∠BAC ＝30°. ∴∠BAC ＝150°.10．A 解析：如图，过点C 作CN ⊥DE ，交ED 的延长线于点N ，延长AB 交ED 的延长线于点M ，则BM⊥DE ，则MN ＝BC ＝20米．∵斜坡CD 的坡比i ＝1：0.75，∴令CN ＝x 米，则DN ＝0.75x 米．在Rt △CDN 中，由勾股定理，得x 2＋(0.75x )2＝102， 解得x ＝8(负值已舍去)， 则CN ＝8米，DN ＝6米．∵DE ＝40米，∴ME ＝MN ＋DN ＋DE ＝66米，AM ＝(AB ＋8)米． 在Rt △AME 中，t an E ＝AMME ，即tan 24°＝AB ＋866，从而0.45≈AB ＋866，解得AB ≈21.7米．二、11.513 12.92 解析：如图，过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A (3，t)在第一象限， ∴AB ＝t ，OB ＝3， ∴tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝92.13.23 14.1215.2 解析：由题意知BD ′＝BD ＝22.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝2 22＝ 2.16.13 解析：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ， 则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x . 所以tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.17．y ＝23x －3解析：tan 45°＝1，tan 60°＝3，－cos 60°＝－12，－6tan 30°＝－2 3.设函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)，(－12，－2 3)，则用待定系数法可求出k ＝2 3，b ＝－ 3. 18.3 解析：如图，过点C 作CH ⊥l ，垂足为点H . 由题意得∠ACH ＝60°，∠BCH ＝30°. 设CH ＝x km ，在Rt △ACH 中，AH ＝CH ·tan ∠ACH ＝x ·tan 60°＝3x km. 在Rt △BCH 中，BH ＝CH ·tan ∠BCH ＝x ·tan 30°＝33x km. 因为AH －BH ＝AB ，所以3x －33x ＝2，解得x ＝3， 即船C 到海岸线l 的距离是 3 km.三、19.解：(1)原式＝2×(2×22－32)＋62＝2－62＋62＝2. (2)原式＝32×12－33×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝34－1＋12＋12＝34.20．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(2)∠B ＝45°，b ＝36，c ＝63.21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE ，∴DE ∥FC . ∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5.∵DF ＝14，∴CE ＝14.∴EH ＝9. ∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.22．解：设AD ＝x m ，则BC ＝6x m. 在Rt △ADE 中，∵∠AED ＝30°， ∴AE ＝AD tan 30°＝x33＝3x (m)，DE ＝2AD ＝2x m.在Rt △BCE 中，∵∠BEC ＝60°， ∴BE ＝BC tan 60°＝6x3＝23x (m)，EC ＝2BE ＝43x m.∵AE ＋BE ＝AB ， ∴3x ＋2 3x ＝90，解得x ＝10 3.∴DE ＝203 m ，EC ＝120 m.在△DEC 中，∠DEC ＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得CD ＝()2032＋1202＝2039(m)．答：这两座建筑物顶端C ，D 间的距离为2039 m.23．解：如图，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，延长AC ，交BD 的延长线于点F ，在Rt △CDE 中，i ＝1∶1.875， ∴CE DE ＝11.875＝815， 设CE ＝8x 米，DE ＝15x 米， 则DC ＝17x 米， ∵DC ＝3.4米，∴CE ＝1.6米，DE ＝3米，在Rt △MNH 中，tan ∠MHN ＝MN NH ＝168336＝12， ∴在Rt △CEF 中，tan F ＝CE EF ＝1.6EF ＝tan ∠MHN ＝12， ∴EF ＝3.2米，即BF ＝2＋3＋3.2＝8.2(米)，∴在Rt △ABF 中，tan F ＝AB BF ＝12，∴AB ＝4.1米． 答：铁塔的高度是4.1米．24．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设AE ＝a 海里，则BE ＝AB －AE ＝100(3＋1)－a (海里)． 在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，∠EAC ＝60°， ∴AC ＝AE c os 60°＝a12＝2a (海里)，CE ＝AE ·tan 60°＝3a (海里)． 在Rt △BCE 中，∠EBC ＝45°， ∴∠BCE ＝90°－∠EBC ＝45°. ∴∠EBC ＝∠ECB ，BE ＝CE . ∴100(3＋1)－a ＝3a ， 解得a ＝100. ∴AC ＝200海里．在△ACD 和△ABC 中，∠ACB ＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC ，∠CAD ＝∠BAC ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC ＝ACAB ， 即AD 200＝200100（3＋1），∴AD ＝200(3－1)海里．答：A 与C 之间的距离为200海里，A 与D 之间的距离为200(3－1)海里． (2)如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中，∠DAF ＝60°，∴DF ＝AD ·sin 60°＝200(3－1)×32＝100(3－3)≈127(海里)． ∵127＞100，∴若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中无触礁危险．。