数学科学学院05-06学年第一学期期末考试试题考试科目:数学分析 年级: 05适用专业:数学与应用数学 信息与计算科学 统计学考试时间:120分钟 考试方式:闭卷 试卷类别:A 试题满分:100分一.判断题(正确的划√,错误的划×,每小题2分,共20分).1.若数列{}n a 收敛,则{}n a 必为有界数列.2.无穷小量与一个有界变量的乘积仍是一个无穷小量. 3.若单调数列{}n a 中有一个子列{}k n a 收敛,则数列{}n a 收敛. 4.若n n x y >,1,2,n =L ,且lim n n x a →∞=,lim n n y b →∞=,则必有a b >.5.若()f x 在0x =点可导,则()f x 在0x =点也可导.6.若()f x 在0x 点连续,()g x 在0x 点不连续,则()()f x g x 在0x 点一定不连续. 7.设()f x 在[,]a b 上可导,若()f x 在[,]a b 上严格单调增加,则在[,]a b 上必有()0f x >'.8.若()f x 在0x x =取的最大值,则()0f x ='.9.若()f x 在X 上一致连续,则2()f x 在X 上必定一致连续. 10.若()f x 为可导的偶函数,则()f x '必为奇函数.二.叙述定义并用定义证明(每题9分,共18分)1.叙述()lim x f x A →∞=的定义,并用定义证明225lim 11x x x →∞-=+.2.叙述函数()f x 在X 上一致连续的定义,并用定义证明()f x =在(),-∞+∞上一致连续.三.计算下列各题(每题4分,共24分)1.lim n →∞⎛⎫+L ; 2.22011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭; 3.设()223x y x x e =++,求()ny ; 4.x →;5.设()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 6.设()(),00,0g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,且已知()()000g g '==,()04g ''=,试求()0f '. 四.按要求解答下列各题(1-4每题8分,第5题6分,共38分)1.设1a =1n a +=1,2,n =L ,证明:{}n a 的极限存在并求其值. 2.设函数()f x 在0x 点可导,且在0x 点的某一邻域内,()0f x 为()f x 的最大值,则()00f x '=.3.叙述闭区间上连续函数的有界性定理,并用有限覆盖定理证明. 4.按函数作图步骤,作函数()2arctan f x x x =-的图像. 5.若函数()f x 满足:[]()[],,fa b a b ⊆,对x ∀,[],y a b ∈,有()()f x f y q x y -≤-,其中01q <<是常数,对[]0,x a b ∀∈,令()1n n x f x +=,0,1,2,n =L ,则{}n x 收敛,且*lim n n x x →∞=满足()**f x x =,且有误差估计式:*101nn q x x x x q-≤--,1,2,n =L .数学科学学院05-06学年05级第一学期期末考试 《数学分析》(A )试题参考答案及评分标准一.判断题(正确的划√,错误的划×,每小题2分,共20分)1.√;2. √;3. √;4.×;5.×;6.×;7.×;8.×; 9.×;10.√.二.叙述定义并证明(每题9分,共18分)1.(1)()lim 0x f x A ε→∞=⇔∀>,0X ∃>,当x X >时,有()f x A ε-<.(2)证明:0ε∀>,由于2222566111x x x x --=<++,所以要使22511x x ε--<+,只须26x ε<,即x >X =x X >时,有22511x x ε--<+,所以225lim 11x x x →∞-=+. 2.(1)()f x 在X 上一致连续:0ε∀>,0δ∃>,12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有()()12f x f x ε-<.(2)证明: 0ε∀>,由于()12,,x x ∀∈-∞+∞有≤,所以取3δε=,则当12x x δ-<,ε<,所以()f x =(),-∞+∞上一致连续.三.计算下列各题(每题4分,共24分)1.lim 1n →∞⎛⎫=L ; 2.220111lim sin 3x x x →⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;3.()()22223n x y x n x n n e ⎡⎤=+++++⎣⎦;4.08x →=;5.2421csc 42d y t dx =-.6.()()()()()()20000110limlim lim 022202x x x g x g x g x g f g x x x →→→'''-'''=====-. 四.按要求解答下列各题(1-4每题8分,第5题6分,共38分)1.证明:(1)先利用数学归纳法证明{}n a1; (2)由1n n a a +-==以及210a a -=>可知{}n a 单调上升,因而由单调有界定理知{}n a 的极限存在,设lim n n a a →∞=,在1n a +=a =解得132a ±=(舍去负值)得2a =,所以lim 2n n a →∞=.2.证明:()()()00000lim0x x f x f x f x x x +→+-'=≤-,()()()00000lim 0x x f x f x f x x x -→--'=≥-,又()f x 在0x 点可导,所以()()()000f x f x f x -+'''==,因而有()00f x '=.3.(1)有界性定理:若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. (2分)(2)证明:由连续函数的局部有界性,对每一点[],x a b '∈,都存在邻域(),x U x δ''及正数x M ',使得()x f x M '≤,()[],,x x U x a b δ''∈I ,考虑开区间集()[]{},,x H U x x a b δ'''=∈,显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在H 的一个有限子集()[]{}*,,,1,2,i i i H U x x a b i k δ=∈=L覆盖了[],a b ,且存在正数12,,,k M M M L ,使得对一切()[],,i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤,1,2,,i k =L ,令1max i i kM M ≤≤=,则对任何[],x a b ∈,x 必属于某(),i i U x δ,因而()i f x M M ≤≤,即()f x 在[],a b 上有界. (6分) 4.解:(1) 定义域{}x x R ∈(2)函数()2arctan f x x x =-在(),-∞+∞上是奇函数。
(3)曲线与坐标轴的交点为()0,0。
(4)()2211x f x x -'=+,令()0f x '=,得1x =±。
(5)()()2241xf x x ''=+,令()0f x ''=,得0x =(6)渐近线y x π=+,y x π=- (7)列表极大值()112f -=-,极小值()112f =-,拐点()0,0。
5.证明:(1)先证明{}n x 为Cauchy 列,因而{}n x 收敛,设*lim n n x x →∞=。
(110nn n x x q x x +-≤-,101nn p n q x x x x q+-≤--) (2)易知函数()f x 在[],a b 上连续,在()1n n x f x +=两边取极限得()**f x x =。
(3)在101nn p n q x x x x q+-≤--两边令p →+∞可得 *101nn q x x x x q-≤--,1,2,n =L .数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目:数学分析 年 级:04 适用专业:数学与应用数学,信息,概率时 间:120分钟 考试方式:闭卷 试卷类别:A 卷 试题满分: 100分一.叙述(每题3分共12分)1. 函数列)}({x f n 在数集X 上非一致有界 2.级数∑∞=1)(n nx u在数集X 上一致收敛的Cauchy 原理3.微积分学基本定理 4,积分第一中值定理二.计算(每题6分共30分) 1. 22xx edx ⎰2.dx x e e⎰2ln3.)21(222222lim nn nn n n n n ++⋅⋅⋅++++∞→ 4.222sin limx t xx e dt→-⎰5.求级数11(1)2nn n∞=-∑ 的和 三.讨论敛散性(每题7分共28分)1.讨论级数∑∞=1n nn x 的绝对收敛性与条件收敛性2.设()()⋅⋅⋅=+=,2,1122n x n nxx S n ,讨论()}{x S n 在[]1,0上的一致收敛性3.设0n a ≥,且数列{}n na 有界,判断级数()11k n n a k ∞=>∑的敛散性4.判断级数221ln n n n ∞=∑的敛散性四.证明(1,2,3题每题8分,4题6分共30分) 1.设函数列()}{x f n 满足(1)()[]b a C x f n ,∈,1,2,n =⋅⋅⋅ (2)(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x 则()()lim bbn aan f x dx f x dx →∞=⎰⎰2.若()x f 在[]b a ,上连续,()20baf x dx =⎰,证明:()[]0,,f x x a b ≡∈3.设()x f 为连续正值函数,证明当0≥x 时,函数()()()⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00ϕ 是单调递增的4.设()x f 在[)0,+∞上单调,()x f x lim +∞→存在,如果导数()x f '在[]+∞,0上连续,那么积分()xdx x f o2sin '⎰+∞收敛数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目:数学分析 年 级:04 适用专业:数学与应用数学时 间:120分钟 考试方式:闭卷 试卷类别:B 卷 试题满分: 100分一.叙述(每题3分共12分)1. 函数列)}({x f n 在数集X 上一致有界 2.级数1nn u∞=∑一致收敛的Cauchy 原理3.微积分学基本定理 4,积分第一中值定理四.计算(每题6分共30分) 1. 2xx e dx⎰2.exdx3.)21(222222lim nn nn n n n n ++⋅⋅⋅++++∞→ 4.221cos limx t xx e dt→-⎰5.求级数()114nn n∞=-∑的和S五.讨论敛散性(每题7分共28分)1.设数列{}13pn n a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭有界,讨论级数31n n a ∞=∑的敛散性.2.讨论级数∑∞=1n nn x 的绝对收敛性与条件收敛性3.设()()⋅⋅⋅=+=,2,1122n xn nxx S n ,讨论()}{x S n 在[]1,0上的一致收敛性 4.讨论无穷积分()0111dx x ββ+∞>+⎰的收敛性四.证明(1,2,3题每题8分,4题6分共30分) 1.设 函数列()}{x f n 满足(1)()[]b a C x f n ,∈,;,2,1⋅⋅⋅=n (2)(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x 则()()dx x f dx x f nn ⎰⎰=∞→βαβαlim2.设()[]b a C x f ,∈,且非负,若[]b a x ,0∈∃,使()00>x f ,则()0>⎰dx x f ba3.设()x f 为连续正值函数,证明当0≥x 时,函数()()()⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00ϕ 是单调递增的4.设()x f 和()g x 在[],a b 上都可积,证明不等式()()()()()()222b bba aaf xg x dx f x dxg x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰04--05学年第二学期04级《数学分析》A 卷解答六.叙述(每题3分共12分)1.0M ∀>,0x X ∃∈,0n ∈¥有()00n f x M ≥。