简单的超静定问题
1、 超静定问题及其解法
B
C
F
1
2
A
B
aa
A F
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构 的约束反力或内力。
B
D
C
1
3
2
aa y
F N3
A
a a FN1
F N2
FA A
F
A
x
F
F
FC
C
超静定结构(静不定结构): 静力 B 学平衡方程不能求解。
超静定结构的未知力的数目多于 独立的平衡方程的数目；两者的 差值称为超静定的次数。
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0, FN1 FN2 FN3 F 0 M D 0, 1.5FN1 0.5FN2 0.5FN3 0
(2) 变形分析—协调条件（补充方程）
l1 l2 l3
B
C
A
C'
B'
2(l1 l2 ) l1l3
(3) 胡克定理
BF BB
B BF BB
A
（3） 胡克定理(物理关系)
Fa BF EA
BB


FBl EA
（4）补充方程变为
B
Fa FBl 0 EA EA
得
FB

Fa l
FB
x FB为正,表明其方向与图中所设一致.
例2 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面 积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2， E1= E2=E；3杆长度为 l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力。
FB B
DC
A
•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约 束，相应的约束反力称为多余未知力。
• 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数 目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余 约束往往是必需的，并不是多余的。
•超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超 静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、 物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问 题。
B 1
C1 A1 C
1
解： 画出结构装配简图，
1
B
并可确定装配后3 杆受 压，1、2杆受拉
aa
C 2
A
l
e
C'
3
l1=l2
B1
1
B
B'
C1
C
C'
A1
2
A
A' l3
FN1
B
FN3
C
FN2
A
aa
(1) 列出平衡方程,一次超静定问题
x Fx 0, FN3 FN1 FN2 0 M C' 0, FN1 FN2
(2) 变形分析—协调条件（补充方程）
因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三 杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在 几何和物性均对称于杆3，可得补充方程
l1

FN1l EA
,
l2

FN2l EA
,
l3

FN3l EA
FN1 2FN2 FN3
(4)联立求解得
Hale Waihona Puke FN1F 12
,
FN 2

F 3
,
FN3

7F 12
2、装配应力·温度应力
(1)装配应力
B
D
在静定问题中，只会使结构的
几何形状略有改变，不会在杆中产 生附加的内力。如1杆较设计尺寸过 C 长，仅是A点的移动。
程； (2)根据变形协调条件，建立补充方程; (3)利用胡克定律，改写补充方程； (4)联立求解。
例3 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性
模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横 梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力。
l
1
2
3
a
a
a 2
DC
A BF
解: (1)受力分析--平衡方程
FN1 A
该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原 荷载和多余未知力的静定结构
--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统
A
注意原超静定结构的 B 端
约束情况，相当系统要保持和
C
原结构相等，则相当系统在 B
F
点的位移为零。
B
即得补充方程 B 0
FB
在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得
A
C F B x
2、拉压超静定问题
例1 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力。
FA
A
解：一次超静定问题
a
(1)力：由节点 A 的平衡条
C
l
件列出杆轴线方向的平衡方
F
程
b
B
FA FB F 0
FB
（2）变形： 补充方程(变形协调条件)
可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在
B
1
D
32
C 解：一次超静定问题
(1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程
y FN1 a
F N3
a FN2
A
F
A F
Fx 0, FN1 sin a FN2 sin a 0
x Fy 0, FN3 FN1 cosa FN3 cosa F 0
B
D
C (2)变形：补充方程
F EA
cos3 a
E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度
与其它杆的刚度的比值有关。
增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也 将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都 将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆 系中是不存在的。
归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方
1 32 aa
(变形协调条件)
A A'
l1 l3 cosa
l3
(3)胡克定理
l1

FN1l EA
l3

FN3l cosa
E3 A3
(4)补充方程变为
FN1

FN3
EA E3 A3
cos2 a
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1

FN 2

2 c osa
F

E3 A3 EAcos2
a
FN3 1 2
3
1 aa
2
A''
A'
e
A
在超静定问题中，由于有了多 余约束，就将产生附加的内力。
附加的内力称为装配内力,与之 相应的应力则称为装配应力,装配应 力是杆在荷载作用以前已经具有的 应力，也称为初应力。
例4 两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需 将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆 的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知： 钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的 弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其 变形可略去不计。
•补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了 利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补 充方程的数目等于多余未知力的数目。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程， 结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充 方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。 此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题 进行说明。