图 2-3RC 高通滤波器
设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y(t)= τ [ dx(t ) / dt ] 式中， τ 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).
6
《通信原理》习题第二章
解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= τ * j 2π f * X ( f ) ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j 2π f τ 习题 2.15 功率谱密度为 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边
2
4 1 + jω
则能量谱密度
4 16 G(f)= X ( f ) = = 1 + jω 1 + 4π 2 f 2
2
习题 2.4 X(t)= x1 cos 2π t − x2 sin 2π t ，它是一个随机过程，其中 x1 和 x2 是相互统 计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 σ 2 。试求：
Rn (τ )
1
Pn ( f )
k 2
0 0
τ
f
图 2-2
习题 2.11
已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
R(τ ) = 1 − τ , − 1 ≤ τ < 1
试求 X(t)的功率谱密度 PX ( f ) 并画出其曲线。 解：详见例 2-12 习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为
+∞ −∞
j 2π f τ
1 + τ , df = 1 − τ 0,
−1 ≤ τ ≤ 0 0 ≤τ <1 其它
k -k τ e ，k 为常数。 2
习题 2.10
已知噪声 n(t ) 的自相关函数 Rn (τ ) =
(1)试求其功率谱密度函数 Pn ( f ) 和功率 P；(2)画出 Rn (τ ) 和 Pn ( f ) 的曲线。
。
(3) R X (t1 , t 2 ) = E [ X (t1 )X (t 2 )] = E [( x1 cos 2πt1 − x 2 sin 2πt1 )( x1 cos 2πt 2 − x 2 sin 2πt 2 )]
= σ 2 [cos 2πt1 cos 2πt 2 + sin 2πt1 sin 2πt 2 ] = σ 2 cos 2π (t 2 − t1 )
解：(1) Pn ( f ) = ∫
+∞ −∞
Rn (τ )e
− jωτ
dτ = ∫
+∞ −∞
k − k τ − jωτ k2 e e dτ = 2 2 k + (2π f )2
5
《通信原理》习题第二章
P = Rn (0) = k 2
(2) Rn (τ ) 和 Pn ( f ) 的曲线如图 2-2 所示。
《通
习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：
X (t ) = 2 cos(2π t + θ ), −∞ < t < ∞
式中， θ 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P( θ =0)=0.5，P( θ = π /2)=0.5 试求 E[X(t)]和 R X (0,1) 。 解：E[X(t)]=P( θ =0)2 cos(2π t ) +P( θ = /2) 2cos(2π t +
E(y(t))=0 , σ y 2 = R0 (0) =
所以输出噪声的概率密度函数
p y ( x) =
1 2 x 2 RC exp(− ) n0 π n0 2 RC
习题 2.18 设随机过程 ξ (t ) 可表示成 ξ (t ) = 2 cos(2π t + θ ) ，式中 θ 是一个离散随变
R (0,1) 量，且 p(θ = 0) = 1/ 2、p(θ = π / 2) = 1/ 2 ，试求 E[ξ (1)] 及 ξ 。
e − t /τ , t ≥ 0 设输入信号 x(t ) = ， 将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的高 0, t < 0
通滤波器（见图 2-3）上，RC＝ 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。 解：高通滤波器的系统函数为
H(f)= X (t ) = 2 cos(2π t + θ ),
解：
(t,t+ )=E[X(t)X(t+ )]=E[ X 1 (t ) X 2 (t ) X 1 (t + τ ) X 2 (t + τ ) ] = E [ X 1 (t ) X 1 (t + τ )] E [ X 2 (t ) X 2 (t + τ )] = RX1 (τ ) RX 2 (τ )
习题 2.8 相关函数为
习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
(1) δ ( f ) + cos 2 2πf ； (2) a + δ ( f − a ) ； (3) exp a − f
(
2
)
解：根据功率谱密度 P(f)的性质：①P(f) ≥ 0 ，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。 可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。 习题 2.6 试求 X(t)=A cos ωt 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+ τ )=E[X(t)X(t+ τ )] = E [ A cos ωt * A cos(ωt + τ )]
= δ ( f − 1) + δ ( f + 1)
习题 2.3 设有一信号可表示为：
4 exp(−t ) ,t ≥ 0 X (t ) = { 0, t<0
试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
− jωt +∞ +∞ − (1+ jω ) t X (ω ) = ∫ +∞ dt = ∫ 0 4e − t e − jωt dt = 4∫ 0 e dt = −∞ x (t )e
(2) 输出亦是高斯过程，因此
σ 2 = R0 (0) − R0 (∞) = R0 (0) =
Cn0 4L
习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边 功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2 n0 4 RC
解 ：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知
10−4 f 2 , −10 kHZ < f < 10 kHZ PX ( f ) = 0,其它
试求其平均功率。
10*10 解： P = ∫ +∞ 104 f 2 df = 2*10−4 * −∞ P X ( f ) df = 2 ∫ 0
3
f3 3
104 0
2 = *108 3
习题 2.13
cos ωt
π
2
)=cos(2π t ) − sin 2π t
习题 2.2 设一个随机过程 X(t)可以表示成： X (t ) = 2 cos(2π t + θ ), − ∞ < t < ∞ 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：为功率信号。
RX (τ ) = limT →∞ = limT →∞ 1 T /2 −T / 2 X (t ) X (t + τ ) dt T∫
(1)E[X(t)]，E[ X 2 (t ) ]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) RX (t1 , t2 )
解：(1) E [ X (t )] = E [x1 cos 2πt − x 2 sin 2πt ] = cos 2πt ⋅ E [x1 − sin 2πt ⋅ E ( x 2 )] = 0
=
P=
1 2π
∫
∞
−∞
Px (ω )dω =
1 1 , 或S = R x (0) = 2 2 sin π f 。试求此信号的自相关函数 πf
2
习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = 。
sin π f 解：x(t)的能量谱密度为 G(f)= X ( f ) = πf
2
其自相关函数 RX (τ ) = ∫ G ( f )e
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《通信原理》习题第二章
解： E[ξ (1)] = 1/ 2* 2 cos(2π + 0) + 1/ 2* 2 cos(2π + π / 2) = 1; Rξ (0,1) = E[ξ (0)ξ (1)] = 1/ 2* 2 cos(0)2 cos(2π + 0) + 1/ 2*cos(π / 2)2 cos(2π + π / 2) = 2 习题 2.19 设
−∞ < t < ∞
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
1 1
=
τ
1 + j 2π f τ
C R
τ
输出信号 y(t)的能量谱密度为
2 2
+ j 2π f τ
Gy ( f ) = Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) = (R +
习题 2.14
Rτ 1 j 2π fC )(1 + 1 j 2π f τ )
PX ( f ) 因为 x1和x 2 相互独立，所以 E [x1 x 2 ] = E [x1 ] ⋅ E [x 2 ] 。
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《通信原理》习题第二章
2 又因为 E [x1 ] = E [x 2 ] = 0 ， σ 2 = E x12 − E 2 [x1 ]，所以 E x12 = E x 2 =σ2。
1 T /2 −T / 2 2 cos(2π t + θ ) * 2 cos [ 2π (t + τ ) + θ ] dt T∫