ˆ i ˆ i ˆ i ˆC ˆE ˆ I
3 3 3 3 3
6 6 ˆ6 ˆ ˆE ˆE ˆ ˆ I 3 i C3 E
I3包括6个对称动作。
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第一章 分子的对称性
2 ˆ ˆ i ˆ ˆ 由于 : C3 , C3 , E C3 iˆ, E
其余动作为二者的联合。
y (x', y')
0
x x y y 0 1 z z
sin cos 0 0 x y 0 1 z
α
(x, y)
x' x cos ' ˆ y sin y C ( ) z' z 0
第一章 分子的对称性
对称性的概念 对称性普遍存在于自然界。
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第一章 分子的对称性
分子的对称性 是指分子的几何 构型或构象的对
称性。它是电子
运动状态和分子
结构特点的内在
反映。
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2
第一章 分子的对称性
§1-1 对称操作和对称元素
对称操作 不改变图形
对称操作: 旋转
中任意两点间的
结合律： A(BC)=(AB)C;
单位元素： 0;
2+(3+4)=(2+3)+4
0+3=3+0=3
逆元素： A-1=-A ;
3-1=-3
3+(-3)=(-3)+3=0
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第一 分子的对称性
群的乘法表
C2v 群的乘法表
H2O(位于xz平面上)
C2 v
ˆ E
ˆ E ˆ E
ˆ C 2 ˆ C
C2
以H2O为例 O
H1 H2
ˆ C 2
O
H2 H1
ˆ C 2
O
H1 H2
ˆ2 E ˆ C 2
ˆ ,E ˆ。 C2轴的独立动作共有2个 C 2
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C3
第一 章 分子的对称 性 以BF3为例
ˆ C 3 ˆ C 3
C3 独 立 动 作 共 有 3 个
ˆ C 3
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S3 I 6
S6 I 3
S4 I 4
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第一章 分子的对称性
§1-2 对称操作群及对称元素的组合
群的定义 群是一些元素的集合，即 G ={gi}n。
群必须同时满足下列条件：
封闭性 结合律
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AB C 则 C G 若 AG, B G ；
群中三个元素相乘有 A( BC ) ( AB)C
ˆ ，然后再依据 联合操作，先依据某一直线旋转 C n
旋转反映操作依据的轴和镜面称为象转轴。
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第一章 分子的对称性
S1 S2 i S3 C3 h S4 h C4 S5 h C5 S6 C3 i
I n 与 S n 互相联系、 互相包含。
第一章 分子的对称性
ˆ )和反轴( I ) 一 、旋转反演操作( I n n
1. 旋转反演操作(
ˆ) I n
ˆ 。 ˆ i ˆC 然后按照轴上的中心点进行反演， I n n
ˆ ， 这是一个联合操作，先依据某一直线旋转 C n
2. 反轴( I n )
旋转反演操作依据的轴和对称中心称为反 轴，In的n决定于转轴的轴次。
含 n 个对称动作。
(2) n 是4的倍数，为独立的对称元素(n个动作)。
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第一章 分子的对称性
ˆ )和象转轴( S n ) 五、旋转反映操作( S n
ˆ ) 1. 旋转反映操作( S n
ˆ ˆ 。 与此直线垂直的平面进行反映， ˆ S C n h n
2. 象转轴( S n )
1. 反映操作( ˆ) 将图形各点垂直移到某一平面的另一侧等距点上。
y
(x, y) (x’, y’)
x
x' x 1 y ' ˆ yz y 0 z ' z 0
0 1 0
0
x y 0 1 z

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第一章 分子的对称性
2. 镜面( ) 进行反映操作所依据的平面，称为镜面。 3. 反映操作的独立动作
n ˆ ˆ , n 奇数 n ˆ ˆ E , n 偶数
ˆ 共有两个独立动作。
反映操作是一种虚动作。
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x
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第一章 分子的对称性 ˆ )和对称中心( i ) 二、反演操作( i
1. 反演操作(
ˆ) i
将图形各点移到与中心点连线的反向延长线等距 离处。
y i
(x’, y’)
(x, y)
x
x ' 1 0 0 x ' y 0 1 0 y z' z 0 0 1
第一章 分子的对称性
4. 镜面的分类 设主轴位于z轴
Cn ，记为 （ h horizontal水平的）；
// Cn ，记为 v （Vertical 垂直的 ）； // Cn 且平分两个相邻 C2
轴夹角，记为
d(diagonal 对角线的）；
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或多个对称操作。
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5
第一章 分子的对称性
ˆ )和旋转轴( C ) 一、旋转操作( C n n ˆ ) 1. 旋转操作( C n
将图形绕某一直线旋转一定角度的操作。
2. 旋转轴( C n ) 旋转操作所依据的几何元素是一条直线，称为 旋转对称轴。
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第一章 分子的对称性
第一章 分子的对称性
2 n1 ˆ ˆ ˆ ˆ C , C , C C n 轴共有n个独立动作， n n n , E。
偶次轴必包含二次轴。 n=偶数（n>2），C2
ˆ 2, C ˆ 3, C ˆ4 C ˆ1 。 轴正好位于动作一半时 C 4 6 8 2
主轴和副轴:一个分子中可能有几个旋转轴， 其中轴次最高的（最大）称为主轴，其余为副
C2群 C3群
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第一章 分子的对称性
⒊ Cnv 群
Cn n v
ˆ1 C ˆ2 C ˆ n1 E ˆ , n h 2n Cnv C n n n v
轴—轴组合定理：若有一个 C2 轴与主轴 Cn 垂 直，则必有n个 C2 轴与主轴垂直，且相邻两个 C2 轴夹角为主轴基转角的一半。 轴—面组合定理：若有一个镜面通过主轴 Cn， 则必有n个镜面通过主轴 Cn，且相邻两个镜面夹 角为主轴基转角的一半。
h和 轴、面、心组合定理：偶次轴(n=偶数)， i 三者共存。 C
c x y f i z
图形是几何形式 矩阵是代数形式
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第一章 子的对称性
若将 z 轴选为旋转轴，旋转操作后新旧坐标间的关系为:
x' x 1 0 y ' C ˆ y 0 1 2 z' z 0 0
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第一章 分子的对称性
恒等元素（单位元素）
群中必有一个恒等元素，它与群中任意元素 相乘，使该元素保持不变。即
RE ER R
逆元素
A G ，则 A G ；且 AA A A E
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1
1
1
第一章 分子的对称性
群的例子
全体整数对加法构成群，称为整数加法群： 封闭性： 所有整数（包括零）相加仍为整数
ˆ E
2
ˆ C 2
ˆ ˆ ˆ yz ˆ yz ˆ xz E C 2 ˆ ˆ xz ˆ xz ˆ ˆ yz C E 2
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ˆ C 2
ˆ yz ˆ yz ˆ xz
ˆ xz ˆ xz ˆ yz
xz
yz
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第一章 分子的对称性
对 称 元 素 组 合 定 理
轴，一般将主轴放在z方向。
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第一章 分子的对称性
对称操作的矩阵表示：
各种操作相当于坐标交换。将向量(x, y, z)变
为(x’, y’, z’) 的变换, 可用下列矩阵方程表达:
x' a b ' y d e z' g h
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第一章 分子的对称性
若分子中有 C n ，且有 i ，则一定有 I n ；反 过来，若分子中没有 C n 和 i 也可能有 I n 。
转900
ˆ C 4
iˆ
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第一章 分子的对称性
分子中的反轴有： I1, I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 , I8 。
I 3 C3 i
I4
1 ˆ ˆ ˆC I4 i 4
3 ˆ3 ˆ3 ˆ3 i ˆ ˆ I C i C 4 4 4
2 ˆ2 ˆ ˆ2 i ˆ I C C 4 4 2
ˆ4 E ˆ I 4
I4包括4个对称动作，可以独立存在。
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第一章 分子的对称性
I6
ˆ1 ˆ2 ˆ1 i ˆ ˆ I C C 6 6 h 3