数学模型作业第一章1、对于大多数工薪阶层的人士来说，想买房，简直是天方夜谭.现在有这样一栋住宅楼, 每套只需自备款七万元，其余由公司贷款，可分期付款，每月只需付800元，十年还清.那么, 这对您还有什么问题呢!”现在的问题是：这房子究竟值多少钱，即如果一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际上，相当于借了多少钱？为什么要每月付800元?对上述问题进行研究，供购房者参考.2、0至17岁的儿童都可以参加这种保险，投保金额可以崑交，也可以按年交，每份保险金额为1000元，保险公司要求各年龄的儿童需交投保金额如下表1-1.表1T保险公司应对保险人的保险项目和金额为：(1) 教育保险金：被保险人到18、19、20、21周岁时每年可领取一份保险金 1000 元. (2) 创业保险金：被保险人到22周岁时可 以领取保险金额的4. 7倍的创业保险金. (3)结婚保险金：被保险人到25周岁时可 以领取保险金额的5. 7倍的结婚保险金.(4)养老保险金:被保险人到60周岁时 可以领取保险金额的60倍的养老保险金. 现在的问题是：如果被保险人能活到60岁时, 贝！I(1) 如果按现行的存款年利率4.5%计算, 投保是否合算？险公司从中获利多少?首先假设投保人都能活到60岁；投保人的 交款和保险公司的返回保险金均在年初进行；银 行现行的存、贷款利率不变；这里均按一份投保金额(1000元)计算.年龄为砍“丄2,. ")；按年袞趣为坠 % =(18-叭 伙=0,1,2,…,14)；崑交款额为 (2) 如果按现行的贷款年利率8%计算，保 总交艮(S4 J7)；现行银行长期存、贷款利率分别为& =4.5%, R2 =8% •第二章初等数学模型1、正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度,实现这个规则的一种简便办法是“2秒准则”, 即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。

建立一个模型来分析这个规则的合理性o2、你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为A, B,C, D, E,在下表左半部分的右上三角的10个空格中，随手填上1,2, ...10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,…，第10场C 对E ・为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.这个赛程的公平性如何呢，不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利，对D则不公平.从上面的例子出发讨论以下问题:1）对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.2）当27支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.3）在达到2）的上限的条件下，给出严& n=9 的赛程，并说明它们的编制过程.4）除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度.第三章最优化模型1、下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。

和仰角"视角。

是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，。

越大越好，仰角“ 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, “太大使人的头部过分上仰，引起不舒服感，一般要求“不超过M。

设影院屏幕高"，上边缘距地面高"，地板线倾角。

，I—•第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为"和。

，观众平均坐高为'(指眼睛到地面的距离)。

已知参数/; = 1.&H=5,d = 4.5,D = 19,c = l.l o(1)地板线倾角一"，问最佳座位处在什么地方。

(2)求地板线倾角(一般不超过2『)，使所有的观众的平均满意度最大。

(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

步距离d = 1000m 降雨量 行讨论：(1) 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

(2) 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同 一平面内，且与人体的夹角为°,如图1,建立 总淋雨量与速度v 及参数"，b, c t d, ”，w, e 之 间的关系，问速度、多大，总淋雨量最少。

计算 8 = 0・，8 = 3(T 时的总淋雨量。

dD ---------------------2、在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为 常数且方向不变。

试建立数学模型讨论是否跑的 越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体, 高= 1.5m (颈部以下),宽b = 0.5m 9厚c = 0.2m 9设跑,跑步最大速度％ =5m/s 9雨速w = 4m/s , vv = 2cm/h 9记跑步速度为卩。

按以下步骤进111?-(3)雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为-如图2。

建立总淋雨量与速度V及参数U 9 b 9 C 9 d 9 K 9 w, a之间的关系，问速度”多大，总淋雨量最少。

计算a = 30•时总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度「为横轴，对（3）作图（考虑&的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

图1 图2第四章数学规划模型1、一汽车厂生产小、中、大三种类型汽车，已知各类型车辆对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时的现有量如下表所示。

试制定月计划，使工厂的利润最大。

进一讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，至少要生产80辆，那么最优的生产廿划应作何改变。

2、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。

⑴现有一客户需要50根4m\20根6m和15根8m的钢管•应如何下料最节省?（2）建立一个模型，写出约束条件。

第六章微分方程模型某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘,以90km/h的速度向正东方向行驶。

该基地立即发射导弹追击敌艇，导弹速度为450km/h,自动导航系统使导弹在任何时刻都能对准敌艇。

(1)建立导弹飞行路线(x, y)与时间的对应关系(2)导弹在何时何地击中敌艇?（3）如果发射导弹时，敌艇立即由仪器觉察,假定敌艇为一高速快艇，他即刻以135km/h的速度与导弹方向成一夹角逃逸，问导弹何时何地击中敌艇？第七章差分方程模型设第一月初有雌雄各一的一对小兔。

假定两月后长成成兔，同时（即第三个月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。

设第n月末共有代对兔子,试建立关于化差分方程。

第八章离散模型1、环境问题是当前世界各国普遍关注的问题之一，是21世纪人类面临的重大挑战。

在社会的高速发展中，在人们不断的创造物质财富，精神财富的同时，人们忽略的自己赖以生存的环境。

人们只知道肆意地向大自然索取，却不知道回报。

大自然发怒了，它开始了向人类的报复。

温室效应，大气污染，臭氧空洞，森林锐减，酸雨多样化和遗传多样性减少，气候现象变化异常……生态破坏和环境污染不仅给经济发展和人民生活带来损失，更严重的是危害人民身体健康，并贻害子孙后代，破坏了人类赖以健康持久地生存的基本条件。

随着社会经济的快速发展，工业化水平的提高，人类活动对空气的污染越来越严重，尤其是在城市集中了大量的工厂、车辆、人口。

空气质量因为车辆、船舶、飞机的尾气、工业企业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等的原因，逐渐开始恶化。

空气污染威胁着人类的日常生活, 危害人体健康，给人们的工作带来不便，并影响或危害各种生物的生存，直接或间接地损害设备、建筑物……空气中极其微少的污染物，都能对人体健康产生极大的影响，导致各种疾病的发生，甚至夺去人的生命。

从1873〜1973年这100年间，全世界已发生过19起重大空气污染事件，例如1930年12月，在比利时马斯河谷工业区有害气体和粉尘污染空气，短短一周内就有60 多人死亡。

1948年10月，美国宾夕法尼亚州多诺拉镇烟雾事件。

由于空气污染致使43%的居民急呼吸道疾病。

1952年12月，英国伦敦光化学烟雾事件, 两个月内死亡人数高达12000人！1955年以后，日本四日市被硫酸雾笼罩。

1964 年该市市民哮喘病大发作，有人因气喘病而死亡。

另一方面，亚洲是世界上发展相对比较落后的地区，人口众多，发展缓慢，为了加速经济的发展，各个国家大肆的对自然进行开发利用，对资源的利用量比较大，但同时对资源的有效利用率不高，对能源废弃物处理不够恰当充分，而且对环境污染给社会，给人类带来的影响认识不够清楚充分。

这样不仅损失了好多带来了巨大的污染，尤其是空气污染。

亚洲虽然国家众多，城市众多，但是不同的国家引起空气污染的污染物种类和污染指数不同，所以各个国家的污染严重程度不同。

而且城市空气污染是多种不同污染物综合作用的结果0 那么给出亚洲11个城市的空气质量调查情况（图表如下），如何根据所给数据，组建数学模型科学的对11个城市空气污染严重程度排名呢11城市空气质量数据来源WHO UNEP1992说明：非常严重污染，超过WHO指标100%以上。

!!中度严重污染，超过WHO指标，达到100%以下。

! 低度污染，符合WHO指标或少量超过。

S02二氧化硫，SPM悬浮颗粒物，NO x氮氧化物，C0—氧, WHO世界卫生组织UNEP联合国环境规划署以上摘自《全球环境展望2000》，联合国环境规划署，中E2、目前，在许多城市大齡青年的婚姻问题已引起了妇联和社会团体组织的关注。

某单位现有20对大龄青年男女，每个人的基本条件都不项条件通常可以分为五个等级A、B、C、D、E, 如外貌、性格、气质、事业可分为很好、好、较好、一般、差；财富可分为很多、多、较多、一般、少。

每个人的择偶条件也不尽相同，即对每项基本条件的要求是不同的。

该单位的妇联组织拟根据他（她）们的年龄、基本条件和要求条件进行牵线搭桥。

下面给出20对大龄青年男女的年龄、基本条件和要求条件（如下表）。

一般认为, 男青年至多比女青年大5岁，或女青年至多比男青年大2岁,并且要至少满足个人要求5项条件中的2项，才有可能配对成功。

请你根据每个人的情况和要求，建立数学模型帮助妇联解决如下问题:相同, 如外貌、气质、事业、财富等。

每（1）给出可能的配对方案，使得在尽量满足个人要求的条件下，使配对成功率尽可能的高。

（2）给出一种20对男女青年可同时配对的最佳方案，使得全部配对成功的可能性最大。

（3）假设男女双方都相互了解了对方的条件和要求，让每个人出一次选择，只有当男女双方相互选中对方时才认为配对成功，每人只有一次选择机会。