高三数学第一轮总复习讲义（培优版）供理科生使用第一讲等差数列及其性质与前n项和第二讲等比数列及其性质与前n项和第三讲数列的通项公式与前n项和的求法第四讲数列的综合问题第一讲 等差数列及其性质与前n 项和【教学目标】1、 掌握等差数列的概念及通项公式；2、 理解并能应用等差数列的性质；3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。

【重点难点】1、应用等差数列的性质解题；2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用;3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值;【命题趋势】1、题型以选择题和解答题为主;2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。

【教学过程】 一、知识要点1. 等差数列的判定方法：（1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ⇔是等差数列； （2）)(221*++∈+=N n a a a n n n {}n a ⇔是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ⇔是等差数列；（4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ⇔是等差数列. 2. 等差数列的性质.由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列.②),()(*∈-+=N n m d m n a a m n .③),(*∈=--N n m d nm a a nm ;④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2,若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和;⑤若n n t t t r r r +++=+++ 2121,则n n t t t r r r a a a a a a +++=+++ 2121; ⑥项数成等差数列的项是等差数列,{}n ka ,{}r ka n +也都是等差数列,公差是.kd⑦等差数列中依次k 项的和成等差数列，即 k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列,其公差为d k 2⑧若{}n a ,{}n b 都是等差数列,公差分别为21,d d ,则{}n n pb ka +也是等差数列,其公差为21pd kd +.二、典例精析题型一、等差数列的证明例1. 已知数列{}n a 满足),2(44,411≥-==-n a a a n n 若,21-=n n a b （1）求证: {}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式题型二、等差数列的性质例2. 在等差数列{}n a 中,若,36121132=+++a a a a 求876a a a ++的值.例3. （2010广东惠州调研，改）已知{}n a 为等差数列，,87,105864531=++=++a a a a a a n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18变式：设公差为-2的等差数列{}n a 中,,5097741=++++a a a a 求99963a a a a ++++ 及99S 的值.例4. （07年辽宁，改）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，求151413a a a ++的值。

变式：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若18,293==S S ，求24S 的值。

题型三、等差数列的前n 项和n S例5. 在等差数列{}n a 中,若,4,84111073=-=-+a a a a a 求前13项的和13S .例6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,,2410171S S a ==问数列{}n a 的前多少项和最大?并求此最大值.题型四、综合问题例7. （2009年湖南四市，改）数列{}n a 中，0,262==a a ，且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列。

求：(1)84,a a ; (2)求数列n a 的通项公式;(3)若))(1)(1(1*+∈++=N n a a b n n n ，求n b 的前n 项和n S 。

例8.（2010年广东惠州调研，14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对于*∈N n ，点),(n n n y x P 在函数)0(2≥=x x y 图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与X 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又相外切，若11=x ，且n n x x <+1。

(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1是等差数列; (2)设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +++= 21，求证：23π<n T 。

三、优化训练选择题1. 设等差数列{}n a 单调递增，且前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( ) (A)1 (B)2 (C) 4 (D)62. 在各项均为正数的等差数列{}n a 中,公差,0≠d 则( )(A) 5481a a a a > (B) 5481a a a a < (C) 5481a a a a +>+ (D) 5481a a a a = 3. 首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 只有有限个负项的条件是( ) (A)0,01>>d a (B) 0,01<>d a (C) 0,01><d a (D) 0,01<<d a 4. 若{}n a ,{}n b 都是等差数列,且,100,75,252211=+==b a b a 则=+3737b a ( ) (A)0 (B)37 (C)100 (D)-375. 公差d 为正数的等差数列{}n a 中,若,15321=++a a a ,80321=⋅⋅a a a 则131211a a a ++=( ) (A)120 (B)105 (C)90 (D)756. 等差数列{}n a 中,,33,4,31521==+=n a a a a 则=n ( ) (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 填空题7. 等差数列{}n a 中,103,a a 是方程0532=--x x 的两根,则该数列前12项的和=12s 。

8. 已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= .9. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,且最后一项超过第一项10.5,那么该数列的项数是 .10. （09年辽宁抚顺）在等差数列{}n a 中，0,011101<⋅>a a a ，若n S 是数列的前n 项和,且12,361810==S S ，则数列{}n a 的前18项之和18T 的值是 。

解答题11. 在数列{}n a 中,22,211+==+n nn a a a a ,求n a .12. 设{}n a 为等差数列,(1)已知,11=a 求公差,d 使3231a a a a +最小; (2)已知,97=a 求公差,d 使21a a 最小.13. 数列{}n a 是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项变为负. (1)求此等差数列的的公差;d (2)设数列{}n a 的前n 项和为n s ,求n s 的最大值; (3)当n s 是正数时,求n 的最大值.14. 已知等差数列{}n a 中, 公差),(02,0,0212*++∈=++≠≠N n k a x a x a a d k k k n .(1)求证:当k 取不同的正整数时方程有公根; (2)若方程不同的根为依次为,,,,21n x x x 求证:11,,11,1121+++n x x x 是等差数列.第二讲 等比数列及其性质与前n 项和【教学目标】1.掌握等比数列的概念及通项公式； 2. 理解并能应用等比数列的性质；3. 熟练掌握各种方法求等比数列的通项公式及前n 项和;4.应用等比数列解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。

【重点难点】1．应用等比数列的性质解题；2．等比数列前n 项和公式理解、推导及应用;3．理解等比数列前n 项和公式与指数函数的联系，能解等比数列与不等式函数等综合问题。

【命题趋势】1. 题型以选择题和解答题为主;2. 选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;3. 解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。

【教学过程】 一、知识要点1. 等比数列的判定方法:(1) q a a n n =+/1(常数)),2(*N n n ∈≥ {}n a ⇔是等比数列; (2) )(*221N n a a a n n n ∈=++ {}n a ⇔是等比数列;(3)),0,0(11≠≠=-+q a aq a n n {}n a ⇔是等比数列; （4）)1,0(1≠>-=a a a s nn , {}n a ⇔是等比数列.2. 等比数列的性质: 由通项公11-=n n qa a 可以推导出许多性质,①若01>a ，则1>q 时{}n a 递增;10<<q 时{}n a 递减;1=q 为常数列.0<q 时, {}n a 是摆动数列.②),(*-∈=N n m qa a mn m n③m n mnq a a -=),(*N n m ∈ ④若p q r s +=+.则s r q p a a a a ⋅=⋅， 特别地,k n k n n a a a +-⋅=2；若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积 ⑤若k k t t t r r r +++=+++ 2121,则n k t t t r r r a a a a a a 2121⋅=⋅； ⑥ 项数成等差数列的项组成等比数列;{}n ka 也是等比数列,公比均为kq ;⑦若{}n a ,{}n b 都是等比数列,公比分别为,,21q q ,则{}n n pb ka ⋅也成等比数列,其公比为.21pq kq ⋅ ⑧前k 项之和，第二个k 项之和，…，第r 个k 项之和构成等比数列, 其公比为kq ;前k 项之积，第二个k 项之积，…，第r 个k 项之积构成等比数列, 其公比为2kq ;二、典例精析题型一、等比数列的证明 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对于N n n ∈≥,2,满足关系n n n a a S -=--11。