昆明市2019年初中学业水平考试数 学 试 卷（全卷三个大题，共23小题，共6页；满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（每小题3分，满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上） 1.（2016云南昆明，1，3）－4的相反数是_______. 【答案】4【逐步提示】本题考查了相反数的意义，解题的关键是看清题意，准确运用相反数的概念．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，找到和－4只有符号不同的数．【详细解答】解：4和－4绝对值相等，符号不同，因此他们是一对互为相反数，故答案为4.【解后反思】一般地，我们确定一个数的相反数时，只需在这个数前面加上负号即可，即数a 的相反数是－a .【关键词】相反数2.（2016云南昆明，2，3）昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法表示为________. 【答案】41073.6⨯【逐步提示】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握求科学记数法的定义. 用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤|a |＜10，n 为整数)，先确定a ，是整数数位只有一位的数.再确定n . 【详细解答】解：67300＝6.73×10000=6.73×104，故答案为6.73×104.【解后反思】用科学记数法表示一个数时，需要从下面两个方面入手： (1)关键是确定a 和n 的值：①确定a ：a 是只有一位整数的数，即1≤a ≤10；②确定n ：当原数≥10时，n 等于原数的整数位数减去1，或等于原数变为a 时，小数点移动的位数；当0＜原数＜1时，n 是负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数的零)；或n 的绝对值等于原数变为a 时，小数点移动的位数； (2)对于含有计数单位并需转换单位的科学记数法，可以利用1亿=1×108，1万=1×104，1千=1×103来表示，能提高解题的效率.【关键词】科学记数法3.（2016云南昆明，3，3）计算：222222y x yy x x ---=__________.【答案】yx +2【逐步提示】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加减的法则以及分式的约分．先按照法则进行分式的减法，然后约分. 【详细解答】解：222222y x y y x x ---=22222()()()x y x y x y x y x y --==-+-y x +2，故答案为yx +2.【解后反思】异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算．如果分子和分母有公因式的，要约分，结果为最简分式或整式； 【关键词】同分母分式的加减法4.（2016云南昆明，4，3）如图，AB ∥CE ，BF 交CE 于点D ，DE =DF ，∠F =20°，则∠B 的度数为_______.（第4题图） 【答案】40°【逐步提示】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质，解题的关键是是掌握平行线的性质，将角的大小进行转化，由等腰三角形的性质证得∠E =∠F =20°，由三角形的外角定理证得∠CDF =∠E +∠F =40°，再由平行线的性质即可求得结论 【详细解答】解：∵DE=DF ，∠F=20°，∴∠E=∠F=20°，∴∠CDF=∠E+∠F=40°，∵AB ∥CE ，∴∠B=∠CDF=40°，故答案为40°.【解后反思】解答平行线角度有关的问题时当所求的角与已知角没有直接关系时，需要将所求的角或已知角进行等量转化.【关键词】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和.5.（2016云南昆明，5，3）如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 各边的中点，AB =6，BC =8，则四边形EFGH 的面积是_____.（第5题图） 【答案】24 【逐步提示】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是灵活运用矩形性质构造全等三角形求解，先根据E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 各边的中点得出AH=DH=BF=CF ，AE=BE=DG=CG ，故可得出△AEH ≌△DGH ≌△CGF ≌△RtBEF ，根据S 四边形EFGH =S 正方形﹣4S △AEH 即可得出结论． 【详细解答】解：∵E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 各边的中点，DC=AB=6，BC=AD=8， ∴AH=DH=BF=CF=4，AE=BE=DG=CG=3． 在△AEH 与△DGH 中，∵,,,AE DG A D AH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEH ≌△DGH （SAS ）．同理可得△AEH ≌△DGH ≌△CGF ≌△BEF ， S △AEH =S △DGH =S △CGF =S △BEF∴S 四边形EFGH =S 正方形﹣4S △AEH =6×8﹣4×12×3×4=48﹣24=24． 故答案为24.【解后反思】本题还可以利用中点四边形的性质和勾股定理来求解，即利用菱形的面积公式计算. 【关键词】矩形的性质；6.（2016云南昆明，6，3）如图，反比例函数)0(≠=k xky 的图像经过A 、B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若OC =CD ，四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为______.316-（第6题图）【逐步提示】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练应用反比例函数中系数“k ”的几何意义进行计算．设点B 的坐标为（a ，b ），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE 的上下底边长与高，再根据四边形BDCE 的面积等于2构造关于ab 方程，求得ab 的值，从而得到k 的值． 【详细解答】解：设点B 坐标为（a ，b ），则DO =a -，BD =b ∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴∴BD ∥AC ∵OC =CD ∴CE =12BD =12b ，CD =12DO =12a - ∵四边形BDCE 的面积为2 ∴12（BD +CE ）×CD =2，即12（b +12b ）×（12a -）=2 ∴ab =163-.将B （a ，b ）代入反比例函数)0(≠=k x k y 中，得k=ab =163-.故答案为163-.【解后反思】一般地，若点A 是双曲线xky =（k ≠0）上任意一点，AB 垂直于x 轴于点B ，垂直于y 轴于点C ，坐标原点为点O ，则S 矩形ABOC =|k |，S △AOB =S △AOC =21|k |（即各面积均为常数）．【关键词】反比例函数；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二、选择题（每小题4分，满分32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 7.（2016云南昆明，7，4）下面所给几何体的俯视图是（ ）（第7题图） A. B. C. D. 【答案】B【逐步提示】本题考查了物体的三视图概念，解题的关键是掌握俯视图就是从上面看一个物体所看到的平面图形．想象着从这个几何体的上面观察，看到的平面图形就是该几何体的俯视图． 【详细解答】解：从上面看，外围的轮廓线是一个圆，顶端是一个圆心，故选择B ．【解后反思】画物体的三视图时，应遵循这样的画图规则：“主、俯两图长对正，主、左两图高平齐，左、俯两图宽相等”．要注意看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线． 【关键词】视图；画三视图；A.90，90B.90，85C.90，87.5D.85，85 【答案】A【逐步提示】本题考查了众数和中位数的求法，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．由众数和中位数的定义，结合表格即可求解．【详细解答】解：∵表格中数据90出现的次数最多，表格中共有9个数据，∴将这9个数据按照由小到大的次序排列，最中间的数是90．∴这组数据的众数为90，中位数为90．故选择A ．【解后反思】判断一组数据的众数、中位数、平均数，一定要根据定义求解，众数是一组数据中出现次数最多的数据；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数． 【关键词】众数；中位数；9.（2016云南昆明，9，4）一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 【答案】B【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式（b 2－4ac )与一元二次方程根的情况之间的关系．先判断一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系，再选出正确的项.【详细解答】解：Δ＝b 2－4ac ＝（－4）2－4×1×4＝0，故该方程有两个相等的实数根，故选择B ． 【解后反思】一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有实数根⇔b 2－4a c ≥0． 【关键词】一元二次方程根的判别式；10.（2016云南昆明，10，4）不等式组⎩⎨⎧≤+<-xx x 42313的解集为（ ）A.2≤xB. 4<xC. 42<≤xD.2≥x【答案】C【逐步提示】本题考查了不等式组的解法，解题的关键是确定两个不等式解集的公共部分．利用不等式的性质，先求出每个不等式的解集，取其公共部分，即为不等式组的解集． 【详细解答】解：313+24x x x -⎧⎨≤⎩＜①②，解不等式①，得4<x ；解不等式②，得2x ≥．所以不等式组的解集为42<≤x ．故选C ．【解后反思】不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，可以求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可．找公共部分常用的方法有两种： （1）数轴法把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来，利用数形结合思想，直观地观察得到公共部分．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形（设a <b ）①不等式组x ax b >⎧⎨>⎩的解集是x >b ，在数轴上表示如图：②不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x <a ，在数轴上表示如图：③不等式组x ax b>⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，在数轴上表示如图：④不等式组x ax b<⎧⎨>⎩无解，在数轴上表示如图：（2）口诀法应用口诀“大大取较大，小小取较小；大小小大中间找，大大小小解不了”来确定．【关键词】一元一次不等式组的解法11.（2016云南昆明，11，4）下列运算正确的是（ ）A. 9)3(22-=-a a B. 842a a a =⋅ C. 39±= D.283-=- 【答案】D【逐步提示】本题考查了整式、数的开方的运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和二次根式的性质．选项A 依据完全平方公式来判断；选项B 依据同底数幂的乘法来判断；选项C 依据算术平方根的性质来判断；选项D 依据立方根的性质来判断.【详细解答】解：选项A ：22(3)69a a a -=-+，该选项错误；选项B ：24246a a a a +⋅==，该选项错误；选项C3=，该选项错误；选项D ：283-=-，该选项正确；故选择D.12.（2016云南昆明，12，4）如图，AB 为⊙O 的直径，AB =6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A =30°，连接AD 、OC 、BC ，下列结论不正确的是（ ）A.EF ∥CDB.∆COB 是等边三角形C.CG =DGD.»BC的长为32π（第12题图） 【答案】D【逐步提示】本题是圆中综合了垂径定理、切线、圆周角定理进行考查.解答本题的关键是对概念性质的灵活运用. 根据切线的性质定理和垂径定理可以直接判断选项A 是否正确；根据圆周角定理和等边三角形的判定定理判定B 是否正确；根据垂径定理可以直接判断选项C 是否正确；利用弧长公式计算出»BC 的长来判断选项D 是否正确.【详细解答】解：因为AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点B ，所以AB ⊥EF ，又AB ⊥CD ，即EF ∥CD ，故选项A 正确；因为AB ⊥弦CD ，»»BC BD =，所以∠COB=2∠A=60°，又OC=OD ，所以△COB 是等边三角形，故选项B 正确；因为AB ⊥弦CD ，所以CG=DG ，故选项C 正确；»BC的长为603180ππ⨯⨯=，故选项B 错误；故选择D.【解后反思】在复杂的图形中阅读有关信息，条件结合选项中的结论选取相关的圆中的性质定理：垂径定理、圆的切线性质定理、圆周角性质定理，依据这些定理判断各选项的正确与否. 【关键词】圆，垂径定理，切线的性质定理，圆周角性质定理；13.（2016云南昆明，13，4）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A.2021010=-x x B.2010210=-x x C.3121010=-x x D.3110210=-x x 【答案】C【逐步提示】本题考查了根据实际问题中的等量关系列出分式方程，解题的关键是审题并找出等量关系．分别表示出骑自行车和乘汽车所用的时间，根据“乘汽车所用的时间比骑自行车的少用20分钟”列出方程. 【详细解答】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，骑车所用的时间为10x 小时，乘汽车所用的时间为102x小时，所以3121010=-x x ，故选择C. 【解后反思】列分式方程与列整式方程一样，先分析题意，准确找出应用题中包含的等量关系，恰当地设出未知数，列出方程．【关键词】分式方程的应用； 14.（2016云南昆明，14，4）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC ，DC 分别交于点G 、F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，FH ， 下列结论：①EG =DF ；②∠AEH +∠ADH =180°；③△EHF ≌△DHC ；④若32=AB AE ，则313EDH DHC S S ∆∆=，其中结论正确的有（ ）（第14题图）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】D【逐步提示】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是掌握各个知识点的内容，并且能够找出已知条件和未知数条件之间的关系.①先证明四边形AEFD 矩形可得AE =DF ，再证明△AEG 是等腰直角三角形，即AE=EG ，所以AE=DF ，即可判断结论①是否正确；②利用“SAS”可以证明△EHF 与△DHC 全等，可得∠HEF=∠HDC ，这样∠AEH +∠ADH 可以转化为∠AEF+∠HEF+∠ADF －∠HDC ，即∠AEH +∠ADH=∠AEF+∠ADF=180°，即可判断结论②是否正确；③由△GFC 是等腰直角三角形和H 是中点可知∠DCH=∠EFH=45°，HF=CH ，由四边形ABCD 是正方形和四边形AEDF 是矩形可得EF=DC ，所以△EHF ≌△DHC ；即可判断结论③是否正确； ④过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，由四边形AEFD 是矩形可知∠DEF+∠EDF=90°，由△EHF ≌△DHC 可得∠HEF=∠FDH ，DH=EH ，所以∠HED+∠HDE 可以转化为∠DEF+∠EDF=90°，即△DEH 是等腰直角三角形，由32=AB AE 可知AE=2BE ，设每一份为x ，用x 分别表示DH 、EF 和HM 的长，△EDH 和△DCF 的面积，即可判断结论④是否正确.【详细解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACD=45°，∠BAC=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA ，∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是矩形，∴EF=AD ，AE=DF ， ∴EF=AD=CD ，∠GFC=90°，∴△CFG 、△AEG 为等腰直角三角形， ∴EG=DF ，故结论①是正确的；∵∠FCG=GFH=45°，HC=HF ，EF=DC ， ∴△EHF ≌△DHC ，∴∠FEH=∠CDH ，∴∠AEH +∠ADH =∠AEF+∠HEF+∠ADF －∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故结论②、③是正确的；过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，∴HM=12CF ∵32=AB AE ，∴AE=2BE ， 设每一份为x ，则AE=2x ，AB=CD=3x ，HM=12x ∵四边形AEFD 是矩形，∴∠DEF+∠EDF=90°， ∵△EHF ≌△DHC ，∴∠CDH=∠FEH ，DH=EH ∴△DEH 是等腰直角三角形，在Rt △DHM 中，==，∴S △DHC =12CD HM ⨯⨯=11322x x ⨯⨯=234x ，S △EDH =212DH=212⎝⎭=2134x ， ∴313DHC EDH S S ∆∆=，即313EDH DHC S S ∆∆=，故结论④是正确的. 故选择D.【解后反思】此类问题容易出现的错误是发现不了△DEH 为等腰直角三角形，从而不能把已知条件和未知条件有机的结合.解答在涉及到与四边形有关的图形问题中，通常需要根据三角形全等的知识来解决线段和角之间的相等关系．【关键词】四边形；特殊平行四边形；正方形；全等三角形；勾股定理三、解答题（共9题，满分70分）15.（2016云南昆明，15，5）（本小题5分）计算：1120162sin 453-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭【逐步提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值等运算方法和性质,特殊角的三角函数值．根据乘方的运算、负整数指数幂、零指数幂、绝对值每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详细解答】解：原式=2321++-=4.【解后反思】此类问题的解题方法是：先将包含的每个知识点的结果运算出来，再根据实数的运算顺序计算：①先乘方，再乘除，后加减；②有括号时先计算括号里面的；③同级运算按照从左到右的顺序进行计算.【关键词】实数；实数的四则运算；乘方；负整数指数幂；零指数幂；绝对值；特殊角三角函数值的运用16.（2016云南昆明，16，6）（本小题6分）如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB.求证：AE =CE.（第16题图）【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，解题的关键是灵活掌握全等三角形判定方法．由FC ∥AB .可得∠A=∠ACF ，又∠AED=∠CEF ，DE =FE ，可以利用AAS 证明∆ADE ≌∆CFE ，利用全等三角形的性质可以.AE =CE . 【详细解答】解：∵FC ∥AB ， ∴∠A=∠ACF ，在△ADE 与△CFE 中,,,A ACF AED AEF DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆ADE ≌∆CFE （AAS ） ∴AE=CE 【解后反思】（1）要证三角形全等，至少要有一组“边”的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边；（2）要证直角三角形全等，通常先考虑直角边、斜边定理（HL ）；（3）在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边（SSS ）求解．在应用全等三角形的判定时，还要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 【关键词】全等三角形；平行线的性质；17.（2016云南昆明，17，7）（本小题7分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）（1）请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1； （2）请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的图形△A 2B 2C 2；（3）在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标.（第17题图）【逐步提示】本题结合平面直角坐标系考查了图形的平移和中心对称，解题的关键是按平移和中心知识正确地作出图形．（1）根据平移的性质，点A 、B 、C 向左平移4个单位，每个点的横坐标减4，纵坐标不变可得对应点A 1、B 1、C 1的坐标；（2）依据中心对称的性质可直接画出△A 2B 2C 2；（3）通过点A 、B 、x 轴，构造最短路径问题的求出点P 的坐标. 【详细解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示：（3）找出A 的对称点A ′（－3，－1），连接B C 2，与x 轴交点即为P ；如图所示：点P 坐标为（2，0）．【解后反思】在平面直角坐标系内，点的平移与其坐标变的关系是：“上加下减，右加左减”，即点向上（或下）平移a个单位，则纵坐标加a（或减a）；点向右（或左）平移b个单位，则横坐标加b（或减b）．【关键词】利用图形变换确定点的坐标；在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标18.（2016云南昆明，18，7）（本小题7分）某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图：（第18题图）（1）这次抽样调查的样本容量是______，并补全条形统计图；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为______，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为_______；（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数.【逐步提示】本题考查了统计的相关知识，解题的关键是从统计图中分析出所需要的数量关系．（1）依据“A等级的人数÷其所占的百分比”即可求出抽样调查的样本容量；利用抽查样本容量—A、C、D三个等级的人数之和等于B等级的人数即可全条形图；（2）用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出C等级所占的百分比，即可求出C等级所对应的圆心角；（3）由扇形统计图可知A等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数【详细解答】解：（1）16÷32%=50，样本容量是50，50—16—10—4=20，补全条形图如图所示：（2）4÷50=8%，10÷50=20%，360°×20%=72°，故答案是8%，72°；（3）A等级的学生人数:1500×32%=480（人）.答：A等级的学生人数约有480人.【解后反思】解此类题必须的关键看懂图，学会从多个图中了解同一个事项的统计数据．【关键词】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体19.（2016云南昆明，19，8）（本小题8分）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字. （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3整除的概率.【逐步提示】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．（1）先列表或画图展示两次所得数字可能出现的所有结果数；（2）再从（1）中找出两个数字之和能被3整除的结果数，然后根据概率公式计算．和： （1，4） （1，5） （2，4） （2，5） （3，4） （3，5） 可能出现的结果共6种，它们出现的可能性相等.（2）∵两个数字之和能被3整除的情况共有2种可能：（1，5），（2，4）， ∴P （两个数字之和能被3整除）=2163=． 【解后反思】利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图等．【关键词】简单事件的概率；概率计算公式；20.（2016云南昆明，20，8）（本小题8分）如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°（点B 、C 、E 在同一水平直线上），已知AB =80m ，DE =10m ，求障碍物B 、C 两点间的距离（结果精确到0.1m ）. （参考数据：732.13,414.12≈≈）（第20题图）【逐步提示】本题考查了解直角三角形的应用问题，解题的关键是构造直角三角形，寻找直角三角形中合适的边角关系．过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt △DEC 中，利用tan DEDCE CE∠=求出CE 的长，然后在Rt △AFD 中，利用等腰直角三角形的性质求出FD 的，从而求出BC 的长. 【详细解答】解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ， 则四边形FBED 是矩形∴FD =BE ,BF =DE =10，FD ∥BE 根据题意得∠FDC =30°，∠ADF =45°， ∵FD ∥BE ，∴∠DCE =∠FDC =30°，在Rt △DEC 中，∠DEC =90°，DE =10，∠DCE =30°，∵tan DEDCE CE ∠=，∴tan 30DE CE ===︒（m ）在Rt △AFD 中，∠AFD =90°，∠ADF =∠F AD =45°， ∴FD =AF ，∵AB =80，BF =10,∴FD =AF =AB －BF =80－10=70∴BC =BE －CE =FD －CE =70－ 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7m.【解后反思】运用锐角的三角函数解决相关问题时，若条件中有直角三角形，直接选择合适的锐角三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添作辅助线构造直角三角形，再选用合适的锐角三角函数关系求解.【关键词】解直角三角形；仰角、俯角有关问题21.（2016云南昆明，21，8）（本小题8分）（列方程（组）及不等式解应用题）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.【逐步提示】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数图象性质的应用，解题的关键是找出包括应用题全部含义的两个相等关系．（1）依据等量关系：①甲商品2件售价+乙商品3件售价=270元；②甲商品3件售价+乙商品2件售价=230元，列二元一次方程组求解；（2）先求出最大利润w 与甲种商品的售价a 之前的函数关系式，然后依据一次函数的图象性质求解即可. 【详细解答】解：（1）设甲商品每件的进价分别是x 元、乙种商品每件的进价是y 元,，根据题意列方程组得：23270,32230,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：30,70,x y =⎧⎨=⎩答：甲种商品每件的进价是30元，乙种商品每件的进价是70元.（2）设购买甲种商品a 件，则购买乙种商品（100a -）件，总利润为w 元，根据题意得： 4(100)a a ≥-，解得：80a ≥，根据题意得(4030)(100)(9070)w a a =-+-- 即102000w a =-+∵k=－10＜0,w 随a 的增大而减小∴当80a =时，总利润最大，108020001200w =-⨯+=（元）. ∴100－a=100－80=20（件）答：当商场购买甲种商品80件，购买乙种商品20件，总利润最大，利润为1200元.【解后反思】列方程(组)解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出已知量、未知量及等量关系；(2)设：直接或间接设出未知数；(3)列：根据等量关系列方程组；(4)解：解这个方程(组)，求出未知数的值；(5)检：检验所求的未知数的值是否为所列方程的解；是否符合实际问题；(6)答：写出答案(包括单位名称) 【关键词】二元一次方程组的应用；一次函数图象的性质；22.（2016云南昆明，22，9）（本小题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点D ，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F . （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若∠F =30°，EB =4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）.（第22题图）【逐步提示】本题考查了切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，扇形的面积等，解题的关键是是知道连接圆心和切点的直线与切线垂直，能够将不规则图形面积问题转化为规则图形面积问题来求解．（1）连接OD ，要证明CF 是⊙O 的切线，由于点D 在圆上，只要利用△DOC ≌△AOC 证明∠CDO=90°即可；（2）设OC 与⊙O 切于点G ，通过适当的转化，将图中阴影部分的面积转化为()2OBC OAG S S ∆-扇形的面积只差来计算即可. 【详细解答】解：（1）证明：连接OD ， ∵四边形EBOC 是平行四边形， ∴EB=OC ，EB ∥OC ，∴∠OBD=∠AOC ，∠ODB=∠DOC ， ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ， ∴∠DOC=∠AOC ， 在△DOC 与△AOC 中，,,,DO AO DOC AOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△AOC （SAS ） ∴∠CDO=∠CAO ， ∵∠CAO=90°， ∴∠CDO=90°， 即OD ⊥CF ，∵点D 在⊙O 上，OD 是半径， ∴CF 是☉O 的切线.（2）解：设OC 与⊙O 切于点G ， ∵∠F=30°，EB=4，由（1）得OC=BE=4，∠FCA=60°，∠FOD=60°， ∴∠FCO=∠OCA=30°，∠DOC=∠AOC=60°， ∴OA=12OC=2， 在Rtt △OCA 中，∠CAO=90°，由勾股定理得：==∴12OAC S OA AC ∆=⋅=∴26022=.3603OAGS ππ⨯=扇形∴42=.3OBC OAG S S S π∆=阴影扇形（-）【解后反思】判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证明半径垂直于直线即可；如果直线与圆没有交点，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可；当阴影部分不是规则图形时，求面积的思路就是要将不规则图形转化为规则图形或几个规则图形的组合，最后组合求得阴影部分面积．【关键词】圆的切线与判定；扇形面积；全等三角形判定与性质；23.（2016云南昆明，23，12）（本小题12分）如图，对称轴为直线21=x 的抛物线经过B （2,0）、C （0,4）两点，抛物线与x 轴的另一交点为A . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（第23题图） (第23题图①)【逐步提示】本题是一道综合性考题，主要考查了二次函数解析式求法、平面直角坐标系中线段长的求法和转换、相似三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是如何利用等腰二次函数图象性质构造相似三角形，如何运用分类讨论的数学思想，画出图形，利用数形结合构建方程解题．（1）因为题中已知抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线的解析式，然后利用待定系数法构造二元一次方程组求解；（2）设点P 的坐标为（2,224n n n -++），先求出直线BC 的解析式，四边形COBP 的面积可以转化。