互补与对称——文学与数学的一个切合点
数学组 王志和
“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全，但愿人长久，千里共婵娟”。
这千古名
句道出了：互相思念的亲人，在千里之外，共瞻一轮明月，体味着“宁静的夜晚你也思念我也思念”的离别的酸楚和憧憬着“却看妻子愁何在，漫卷诗书喜欲狂”的归乡的喜悦。
把相距千里的亲人，在月光的映照下，纳入到一张图画中，遥相呼应，成为千古绝唱。
“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲，遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。
”独居异乡
的飘零游子，每逢佳节情何以堪？
“北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月中带影一双飞。
”通过对称的手法与互补
的手法，委婉含蓄地表达了作者的孤独心情。
在古诗古词中，这样表达悲欢离合、阴晴圆缺的经典佳句很多。
掩卷遐思，忽而想到，数学中的力求对称、形成互补，弥合成完美和谐的形式，是数
学美的一种重要体现形式。
问题一：一元二次方程02=++c bx ax ，（0≠a ）的两个根是：
a ac
b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---=。
如果单独看这两个根，有一种“孤立”、“游子”的感觉，但把它们合在一起来看：a b x x -
=+21，a c x x =21。
这样便有一种“珠联璧合”、“比翼双飞”、“连理枝”的感觉了。
问题二：一个横断面是等腰梯形ABCD 的水渠，
水渠的两腰和底的面积和是定值（即图中的k y x =+2，
k 是定值）
，则怎样选取y x ,，能使水流量（即梯形的 面积S ）最大.
解法一：在图一中，梯形的高22z y h -=
， 面积h z x h z x S )()22(21+=+=
所以)()(2222z y z x S -+=
=))()()((z y z y z x z x +-++ =))(33)()((3
1z y z y z x z x +-++，后四个数的和 是定值k 2，所以当z y z y z x +=-=+33，得y x =时面积S 最大. 这种解法技巧性强，且用到了四元均值不等式，不易想到，能不能有好一点的方法， 且看：
y y x h A B C D E
z 图一 图二
解法二：做梯形关于上底面边的对称图形，这样得到的六边形的周长是k y x 224=+，即六边形的周长是定值，当六边形是正六边形时，面积最大，这时y x =.
解法二的妙处在于做对称图形，从而使问题简化。
看着图形，让人不觉想到，一座青山倒映在波光涟漪的池水中的美丽景象。
“两山夹明镜，双桥落彩虹”的简约抽象画映入了我们的眼帘。
感觉到李白的“举杯邀明月，对影成三人”的惆怅和“不知明镜里，何处得秋霜”的忧伤。
问题三：已知k 是奇数，n 是正整数，求证k
k k k n ++++ 321 是 n ++++ 321的倍数。
证明： 已知： k k k k n n +-+++)1(21 (1)
倒置过来： k k k n n 1)1(++-+ (2)
将（1）式与（2）式错位相加得：
k k k k k k k k n n n n n ++-++-++-++]1)1[(])2(2[])1(1[ ……………（3） 因为k 是奇数，由二项式定理，得（3）中每一项都是n 的倍数；
又： k k k k n n +-+++)1(21 (4)
倒置： k k k k n n 12)1(+++-+
=k k k k n n n n n n )])1[()]1()1[(]2)1[(]1)1[(-++--+++-++-+ (5)
（4）+（5）得：
}])1[({}]2)1[(2{}]1)1[(1{k k k k k k n n n n n -++++-+++-++ ……………（6） 因为k 是奇数，由二项式定理，得（6）中每一项都是1+n 的倍数；
说明k k k k n n +-+++)1(21 既是n 的倍数又是1+n 的倍数，所以：
k k k k n n +-+++)1(21 是n ++++ 321的倍数。
互补使得大自然浑然一体。
久在酷暑中渴望甘霖的滋润，常在阴霾中期盼阳光的抚慰。
“天对地，雨对风，大陆对长空…”，文学中的对偶句提炼出来的互补思想是中国古典文化的瑰宝。
刘禹锡的一首爱情诗：“杨柳青青江水平，闻郎岸上踏歌声，东边日出西边雨，道是无晴却有晴”是对爱的表露，也是互补思想的生动写照。
按着互补方法写的一幅对联：“‘一大乔，二小乔，三寸金莲四寸腰，五匣六盒七彩粉，
八环九钗十倍娇’；‘十九月，八分圆，七个进士六个还，五更四鼓三声响，二乔大乔一样贤’”成为闲人雅士茶余饭后的一种美谈。
问题4： (一) 121112=，123211112=，123432111112=，123454*********=，
….
（二）二项式展开式的二项式系数：n n n n n n n C C C C C ,,,,,1210- .
看这样的完美结构，蓦然想到：这不是文学中的“回文对”吗！
清朝京城有个饭庄名叫“天然居”。
某日，乾隆皇帝用它做对子，作上联道：“客上天然居，居然天上客”。
此上联从前往后读与从后往前读都是一句话，称为“回文对”。
纪晓岚稍加踌躇说道：“人过大佛寺，寺佛大过人”。
这样的对联被传为佳话。
还有一幅有名的对子：“画上荷花和尚画，书临汉贴翰林书”。
细细品味，这样的流传久远的名对子似乎不如上面的“回文数列”更让人遐思。
假如说二项式展开式的二项式系数：
n n n n n n n C C C C C ,,,,,1210- ，有：
n n n n n n C C C C 2210=++++ 等等许多和谐优美的结构，但文学中的“回文对”似乎没有这么丰富的内涵。
还有上面的121112
=，且121的各个数
位上数字之和是22，123211112=，且12321的各个数位上的数字之和是23，123432111112=，且1234321的各个数位上的数字之和是24，…，看看，多么有趣，多么神奇，多么美丽！
另外，回文对从结构上看就是数学中的轴对称图形。
而这样的例子在数学中比比皆是。
但奇妙的是回文对思想可以帮助我们解数学题，如：
例题：在等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，n m ≠，若n m S S =，求n m S +.
解 设bn an S n +=2，n m S S =，说明二次函数的对称轴是
2
n m +，按着回文对的思想得：n m S S +=0，,而00=S ，于是：0=+n m S .
南辕北辙一样可以达到目的地；背井离乡可能是报答乡梓的另一个途径。
姚明之所以是
名震中外，是因为有众多“粉丝”的捧场。
这是互补的力量！
“打起黄莺儿，莫在树上啼，啼时惊妾梦，不得到辽西”。
相思之情，托梦中鸿雁，划
破长空，形成一条爱的彩虹。
法拉第的磁力线和谐优美、疏密得当，描绘的是磁场强度，是物质能量，是优美形象的几何图形；而相处异地的知己恰好比磁场中的N 极和S 极，他（她）们之间画出的互相思念的曲线是和谐的、对称的、优美的，描绘的是思念的强度、是精神的力量，是生动浪漫的文学图画。
“…，一种相思，两处闲愁，才下眉头，却上心头”！
对称与互补是文学中的诗！互补与对称是数学中的画！
注：本文发表于《数学通讯》2009年第7期，该刊是教育部主管的国家级核心期刊。
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