1
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 0 )
三.周期性电流、电压的有效值 (effective value)
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
(3) 初相位(initial phase angle) y 00 00 0
t
y y y =0 y =/2y =-/2
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
j <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
u, i u i 0
规定： | j | (180°)
yu yi j
wt
特殊相位关系：
j = 0， 同相：
u, i u i
j = ( 180o ) ，反相：
u, i
i
0
u
U
则
1、线性性质
f af1 bf2
F a F1 b F2



例 u1 (t ) 6 2cos(314t 30 ) V
u2 (t ) 4 2cos(314t 60o ) V
6 30 o V U 1 4 60 o V U 2
U U 630 460 5.196 j 3 2 j 3.464 U 1 2 7.196 j 6.464 9.6741.9o V
Re
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
iI
di jw I dt
iI
1 I idt jw
证明： di d e jw t ] Re[ 2 I dt dt d e jw t ] Re [ 2 I dt
i d t Re
jw t 2 Ie dt
R
uR (t ) Ri(t ) 2RI cos(wt y )
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
相量形式：
Iy I RIy U
R
pR uR i O
I
相量关系
wt
R RI U
U R
相量模型
+
I
R
U
相量图
二 . 电感 时域 i(t) + u (t) 时域模型 频域

dt

U R I jwL I
U I R jwL



U y u R 2 w 2 L2 arctg
wL
R

U R w L
2 2 2
y u arctg
wL
R
i
2U R2 w 2 L2
cos(wt y u arctg
wL
R
)
相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
相量模型
u i
U
0
波形图
wt
I
相量图
感抗 U=w L I XL= U/I =w L= 2 f L， 单位: 欧 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。 XL
错误的写法 u wL i
U wL I
w 0(直流), X L 0, 短路; w , X L , 开路;
第8章
重点：
相量法
正弦量的相量表示
相量法
8-1 复数
1. 复数A表示形式： Im b A Im b 0 A |A|
0
a
y
Re
a
Re
A a jb
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标 (2) 乘除运算——极坐标
A A e jy | A | y
A a b
2
2
b y tg a
jy
e
jw t
e jw t 2I
复常数 称 I Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。 有效值复数 最大值复数
I m I me

jy i
I my i
Im 2 I


i (t ) 2 I cos(wt y ) I Iy

正弦量的相量表示:
相量的模表示正弦量的有效值
结论
两个正弦量 进行相位比 0 (2) ij ( t ) 10 cos( 100 π t 30 ) 1 3π 4 ( π 2) 5π 4 0 较时应满足 0 j 5π100 4 π 2π 15 3π i2 (t ) 10 sin( t ) 4 同频率、同 0 0 i(2t( t ) 3cos( cos( 100 π t 30 150 ) 0 (3)i ( ut ) 10 100 π t ) 函数、同符 1) 10 cos( 100 π t 105 ) w 2 1 w2 0 0 0 0 j 10 30 200 (150 ) 120 号，且在主 u2 (t ) cos( π t 45 ) 不能比较相位差 0 0 0 j 30 (105 ) 135 0 值范围比较。 (4) i (t ) 5 cos( 100 π t 30 )
I 90o I
I
i(t ) 2I sinwt
di ( t ) L u( t ) L dt 2wL I coswt 2wL I si n ( wt 90o )
u, i
jwL I U
有效值关系 U=w L I
相位关系 u 超前 i 90°
U
+ -
jw L
t1 t2
I m e jy yi
2Icos( wt y ) j 2Isin( wt y )
若对A(t)取实部：
Re[ A(t )]
2 Icos(wt y )
i 2 Icos(wt y ) A(t ) 2 Ie j(wt y )
A(t)还可以写成
A(t ) 2 I e
XC
w 0(直 流), X C , 隔 直 作 用 ; w , X C 0, 旁 路 作 用 ;
w
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
一. 电路元件的相量关系
u Ri di uL dt 1 u idt C
RI U jwLI U 1 U I jw C

u(t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe jw t )
jw t


Re( 2 U 1 e
得：

jwt
2U2 e

jw t
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jw t )


U U U 1 2

例2. 已 知I 5015o A, f 50Hz. 试写出电流的瞬时值表达式。 解：
i 50 2cos(314t 15o ) A
二. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1 (t ) 2 U1 cos(wt y 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 (t ) 2 U 2 cos(wt y 2) Re( 2 U 2 e jw t )
1
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
8. 2 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素： i _ + u i
Im
wt
波形图
i(t)=Imsin(w t +y )
y
i i
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im (2) 角频率(angular frequency) w
0 u, i
u
wt
wt
i 0
j = 90°
wt
u 领先 i 90° 或 i 落后 u 90°
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例1 计算下列两正弦量的相位差。
解
(1) i1 (t ) 10 cos( 100 π t 3π 4) i2 (t ) 10 cos( 100 π t π 2)
L jw LI L 6. U
di L 7. u C dt
L Um U 4. X L L I m I
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例2 已知电流表读数：
A1 ＝8A
A2 ＝6A
若 1. Z1 R, Z 2 jX C
2. Z1 R, Z 2为何参数
A0 ＝I0max=?
3. Z1 jX L , Z 2为何参数
u(t ) u1(t ) u2 (t ) 9.67 2cos(314t 41.9o ) V
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图 在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U
U 2
Im
U
U 2
60
U 1
U 1
41.9
60

41.9
30
相量的幅角表示正弦量的初相位

u(t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A