§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。

对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。

离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。

对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。

一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。

如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。

方程右端又被称为驱动项。

方程的阶数和系数反映系统的结构特征。

用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。

如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。

齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。

2. 差分方程的解线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解)(1kT y 和非齐次方程的特解)(2kT y 两部分组成， 即)()()(21kT y kT y kT y += (10.21)其中特解)(2kT y 可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。

(10.17)的特征方程为0)))((2111=---=+++-n n n n q q q q q q a q a q ( (10.22)其中n i q i ,,2,1, =为特征方程的根。

根据特征根i q 的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。

考虑下面三种情况。

(1) 无重根，即当j i ≠时，j i q q ≠，则通解为∑==+++=ni k ii k nn k kqc q c q c q c kT y 122111)( (10.23)式中待定系数n i c i ,,2,1, =，由系统的n 个初始条件确定。

(2) 全为重根，即 n i q q i ,,2,1,1 ==，则通解为∑=--=+++=ni k i i k n n k k q k c q kc kq c q c kT y 1111112111)( (10.24)其中i c 为待定系数。

(3) 有r 个重根，其余的不是重根，即1q q i =，当r i ≤时；而j i q q ≠，当r j i >,且j i ≠时则通解为∑∑=+=-+=ri nr i k i i k i i q c q k c kT y 11111)( (10.25)其中i c 为待定系数。

从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下： (1) 求齐次方程的通解)(1kT y ； (2) 求非齐次方程的一个特解)(2kT y ；(3) 差分方程的全解为 )()()(21kT y kT y kT y +=；(4) 利用n 个初始条件或其它条件确定通解中的n 个待定系数。

[例10-1] 求解二阶差分方程k kT y T kT y T kT y 3)(2)(3)2(=++-+，0)()0(==T y y解：先设特解为k c kT y 3)(2=，代入方程试探k k k k c 3]32333[12=⋅+⋅-++求出21=c 。

再由特征方程 0)2)(1(232=--=+-q q q q得出11=q 和22=q ，则齐次方程的通解为k c c kT y 2)(211+=方程的全解为k k c c kT y 3212)(21++=代入初始条件得2320212121=++=++c c c c 求出211=c 和12-=c 。

因而，非齐次差分方程的解为 0,321221)(≥+-=k kT y k k二、z 变换类似于连续实变函数)(t y 的拉氏变换)(s Y ，对序列{})(kT y 也有相应的z 变换)(z Y 。

这里z 也是一个复变量。

通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此z 变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。

1. 定义在线性连续系统中，连续时间函数)(t y 的拉氏变换为)(s Y ，同样在线性离散系统中，也可以对采样信号)(t y *作拉氏变换。

采样信号)(t y *可描述为∑∞=*-=0)()()(k kT t kT y t y δ (10.26)则对采样信号)(t y *作拉氏变换得[][]∑∑⎰∑∞=-∞=∞∞=-*=-=-==0*)()()()()()()(k kTs k k ste kT y kT t L kT y dt ekT t kT y t y L s Y δδ令sTe z =，则有∑∞=-==0*)()(ˆ)(k k z kT y s Y z Y (10.27))(z Y 可看作是)(t y *的离散拉氏变换或采样拉氏变换。

一般称)(z Y 为离散序列{})(kT y 的z 变换，有时也称之为{})(kT y 的象，记作 [])()(kT y Z z Y =。

)(z Y 是复变量z 的函数，它被表示为一个无穷级数。

如果此级数收敛，则序列的z 变换存在。

序列{})(kT y 的z 变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即kNk N zkT y -=∞→∑0)(lim 存在。

原函数)(kT y 和象函数)(z Y 是一z 变换对，即[])()(kT y Z z Y =和[])()(1z Y Z kT y -=下面计算几种简单函数的z 变换，并列出一个常用的z 变换表（表10-1）。

(1) 单位脉冲时间序列⎩⎨⎧≠==0 001)(k k kT δ则[]1)(=kT Z δ延迟的单位脉冲时间序列⎩⎨⎧>==- 001)(其他n k nT kT δ 则[]n z nT kT Z -=-)(δ(2) 单位阶跃时间序列⎩⎨⎧<≥=0 001)(1k k kT则[]∑∞=---==0111)(1k k z z kT Z(3) 单位斜坡时间序列kT kT y =)(则[]211)1()(--∞=--==∑z Tz kzT kT y Z k k(4) 衰减指数序列kT e kT y α-=)(则[]111)(--∞=---==∑z e z e kT y Z T k k kT αα表10-1 常用拉氏变换及z 变换表)(s Y )(t y )(z Y1 )(t δ 1 kTse- )(kT t -δ kz-s 1 )(1t 1-z z 21s t 2)1(-z Tz 31s 22t 32)1(2)1(-+z z z T 11+n s !n t n )(!)1(lim 0T n n n e z zn ααα-→-∂∂- a s +1 ate - aTe z z -- 2)(1a s + atte - 2)(aT aT e z Tze ---)(a s s a + ate --1 ))(1()1(aTaT e z z e z ----- 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω22ω+s s tωcos 1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 22)(ω+++a s a s t e atωcos - aT aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω2. z 变换的基本性质 (1) 线性性质z 变换是一种线性变换，即[][][])()()()()()(z G z F kT g Z kT f Z kT g kT f Z βαβαβα+=+=+ (10.28)其中α和β为两个任意常数。

线性性质的证明可以由定义直接得到。

(2) 滞后性质序列)(T kT y -的z 变换为[]∑∑∑∞=--∞=-∞=-==--=-=-0110)()0)(( )()()(j j k k k kz jT y T y z T kT y z T kT y T kT y Z (10.29))()(101z Y z zjT y zj j-∞=--==∑同样，由于单边序列)(,),(nT y T y -- 均为零，故[])()(z Y z nT kT y Z n -=- (10.30)从这个性质可以看出nz-代表序列滞后了n 个周期。

(3) 超前性质序列)(T kT y +的z 变换为[])0()()0()()0()0()()()()()(01101zy z zY zy z jT y z zy zy z jT y z z jT y z z T kT y z z T kT y T kT y Z j j j j j jk k k k-=-=-+==+=+=+∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=--∞=- (10.31)推广到超前n 步序列)(nT kT y +，可得[])()()0()()(1T nT zy T y z y z z Y z nT kT y Z n n n -----=+- (10.32)(4) 象函数尺度的变化[])())(()(0az Y az kT y kT y a Z k k k==∑∞=-- (10.33)(5) 初值定理 由+++=--21)2()()0()(z T y z T y y z Y可得)0()(lim y z Y z =∞→ (10.34)(6) 终值定理 由----+++=-------321211)2()()0()2()()()()1(z T y z T y z y z T y z T y T y z Y z得)(lim )()1(lim 11kT y z Y z k z ∞→-→=- (10.35)(7) 卷积)(k f 和)(k g 的卷积被定义为∑∞=-⋅=*0)()()()(i iT kT g iT f kT g kT f (10.36)则[])()()()()()()()()()()()(0000000z G z F z G z iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f kT g kT f Z i i i k k i k k kk i ⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*-∞=∞=∞=-∞=∞=--∞=∞=∑∑∑∑∑∑∑ (10.37)以上是几个主要的z 变换性质，这些性质为z 变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。