【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 （辽宁卷，理 16） 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
【课前小热身】 1、甲球内切于正方体 AC 的各面，乙球内切于该正方体 AC 的各条棱，丙球外接于该正方体 AC ，则三球 半径之比为_________________；
2、甲 球 内 切 于 正 四 面 体 PABC 的 各 面 ， 乙 球 外 接 于 该 正 四 面 体 PABC ， 则 两 球 表 面 面 积 之 比 为 ___________。
【探究案】 例 1、 直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上。 若 AB AC AA 1 2, BAC 面积等于_____________。 B1 A B
2048 D、 cm 3 3
2、(辽宁卷，理 10) 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3, AC 4, AB AC, AA 1 12, 则球
O 的半径为(
3 17 A、 2
)。
B、 2 10
13 C、 2
D、 3 10
3、(大纲卷，理 16) 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， OK 所成的一个二面角为 60 ，则球 O 的表面积等于____________。
【专题课】
简单多面体的外接球问题
Байду номын сангаас
【考点透视】 此部分是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点和难点。它注重考查学生的空间想象能力，对 空间形式的观察、分析及抽象概括的能力。 有关球与几何体的相切和相接问题，既要运用几何体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意几 何体的有关几何元素与球的半径之间的关系。因此，在球与几何体的切、接问题中，球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用。 【必备知识】 球体的体积与表面积计算公式： ① V球
A A
B
D
B
D
C
C
例 4：已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm ） ，如果这个几何体内接于一个 球 O ，那么这个球 O 的半径是_________________ cm 。
例 5、已知空间 4 个球，他们的半径分别为 2,2,3,3 每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这 4 个球都 外切，则这个小球的半径为______________。