环简介一个具有两种二元运算的代数系统。

在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。

倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。

整数集Z就构成一个（数）环。

在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。

环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：1. 若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素；2. 加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c；3. 在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a；4. 对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。

在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：1. 若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环；2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。

环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。

各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。

在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(Emmy Noether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。

环论往往相当抽象。

虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。

这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。

这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。

____摘自：《代数学－集合、符号和思维的语言》[美]约翰·塔巴克著，商务印书馆，2007年7月第1版环的定义在非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：1）集合R在加法运算下构成Abel群。

2）乘法有封闭性，即对任何a∈R,b∈R，有ab∈R。

3）乘法分配律与结合律成立，即对任何a∈R，b∈R和c∈R，有a (b+c) =ab + ac(b+c)a = ba + ca(ab)c = a(bc)我们则称R是一个环。

一个环同样有几个最基本的性质：对于任何的a∈R和b∈R,有① aŸ0 = 0Ÿa = 0。

② a(-b) = (-a)b = -ab。

一个具有两种二元运算的代数系统。

设在集合R中已定义了加法与乘法，而R在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。

此时R中就有唯一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有唯一的负元素-α,使α+(- α)=θ,可简记α+(-b)为α-b。

分配律可推广为：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用数学归纳法可证公式在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α(-b)=(-α)b=-αb；(-α)(-b)=αb；(nα)b=α(nb)=nαb,其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。

如果非结合环R还具有性质:α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R 中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ，那么R 称为一个李环。

如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R 中恒有(αα)bα=(αα)(bα)，那么R 称为一个若尔当环。

在非结合环的研究中,李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。

如果非结合环R 的乘法适合结合律，那么R 称为一个结合环或环。

如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。

”（称为换位运算）：α。

b=αb-bα，那么R 对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）:α·b=αb+bα，则R 便成一个若尔当环。

设S 是非结合环R 的一个非空子集，若对于R 的加法与乘法，S 也构成一个非结合环，则S 称为R 的一个子环。

一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。

非结合环R 的若干个子环的交，仍是R 的一个子环。

当T 为R 的一个非空子集时，R 中所有含T 的子环的交显然是R 中含T 的最小子环,称之为R的由T 生成的子环。

如果非结合环R 中任意三个元素生成的子环恒为结合环,那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个交错环;如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个幂结合环。

在幂结合环中，第一、第二指数定律即公式恒成立。

如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。

在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即公式成立；还有二项式定理。

结合环与交换环的典型例子如:F上的n阶全阵环,即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环。

V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间 V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环。

F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。

整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环。

R上的n阶全阵环,即在任意一个环R上的全部n阶矩阵,对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn。

【0,1】上的全实函数环，即定义在区间【0,1】上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环。

整数模n的环R奱，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。

它是只含有限个元素的交换环的典型例子。

若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R 有ex=xe=x,则e称为R 的一个单位元素。

一个环若有单位元素,则它必然是唯一的。

设R是一个含有单位元素的环,α是R 中一个元素,若R 中有元素b,使αb=bα=e,则b称为α的一个逆元素。

当α有逆元素时,其逆元素必然是唯一的,记为α-1,α-1也有逆元素,而且就是α,即(α-1)-1=α。

R 的零元素θ 必无逆元素。

若R 的每个非零元素都有逆元素, 则R 称为一个体或可除环。

四元数代数就是典型的体。

在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。

理想设S是环R 的一个非空子集，所谓S是R 的一个左理想，意即①S 是R 作为加法群时的一个子群；②当α∈S,x∈R 时,则xα∈S。

若有αx∈S,则S称为R 的右理想。

如果S 既是R 的左理想，又是R 的右理想,则称S 是R 的一个理想。

例如,{θ}是环R 的一个理想。

设l1、l2都是环R 的左理想。

R中所有的元素α+b(α∈l1,b∈l2)作成R 的一个左理想,并称之为l1与l2的和,记为l1+l2。

R中所有的有限和公式作成R 的一个左理想,称为R 的左理想l1与l2的积,记为l1l2。

易知R 的左理想的加法适合交换律与结合律；R 的左理想的乘法适合结合律且对加法有分配律。

对于R 的右理想的加法与乘法也有类似结果。

由于左理想与右理想的对称性,因此以下关于左理想的讨论, 对于右理想也适合。

环R 的两个左理想的和的概念可以推广成若干(有限或无限)个左理想li的和li，它是由所有的有限和公式所构成的。

如果这些li均非零, 而且在li中每个元素α=αi的表法是唯一的，那么R的这组左理想li(i∈i)称为无关的。

环R 的两个左理想的积的概念可以推广成任意有限多个左理想l1，L2,…，ln的积l1l2…ln。

特别，当这些li都是R 的同一个左理想 L时，此积简记为ln。

设T是环R 的一个非空子集。

R 中有元素α ,它能从左边去零化T 中每个元素即αT=｛αt|t∈T｝是｛θ｝,例如R 中的零元素θ 就是这样一个元素。

R 中所有这种元素作成R 的一个左理想, 称为T 在R 中的左零化子，或R 中的一个左零化子。

如果环R 的任意一组左理想中恒存在极小的左理想，那么环R 称为满足左极小条件, 或降链条件。

所谓极小左理想,是指一组左理想中的一个左理想,它不能真正的包含组中任何左理想。

同理可定义环R的左极大条件(或升链条件) 以及环R 的左零化子的极小与极大条件。

由于环R 的左零化子仅仅是R 的一类特殊的左理想，所以环R 的左零化子的极小与极大条件,分别弱于R的左极小与左极大条件。

若环R 满足左极大条件，则R 中左理想的任何无关组必为有限的。

满足左极小条件的环又称为左阿廷环；满足左极大条件的环又称为左诺特环；一个环满足条件：①它的左理想的任何无关组恒为有限的；②它的左零化子满足极大条件，称为左哥尔迪环。

由上述可知，左诺特环恒为左哥尔迪环。

设N是环R 的一个理想。

首先,R 作为一个(交换)加法群时，则N 就是群R 的一个正规子群。

N 在R 中的全部陪集对于陪集的加法(α+N)+(b+N)=(α+b)+N 作成一个(交换)加法群。

其次,规定(α+N)(b+N)=αb+N,这与陪集的代表元素α、b的取法无关。

易知陪集的这种乘法，适合结合律且对加法有分配律。

于是就得到一个环，并称之为环R 关于其理想N 的剩余类环，记为R/N。

它与环R有同态关系。

所谓同态，是指对于两个环R1、R2,有一个从R1 到R2上的映射σ：R1→R2，使对任意α·b∈R1恒有σ(α+b)=σ(α)+σ(b),σ(αb)=σ(α)σ(b)。

R2是R1在σ下的同态像,记为公式。

对任意环R 及其任意理想N ,只要定义σ(α)=α+N 就得到R 到R/N 上的一个同态映射,特称之为自然同态映射。

如果环R1到环 R2上的一个同态映射σ，又是一一映射,那么σ 称为同构映射,记为公式。

可以证明, 如果σ 是环R 到环R′上的一个同态映射，那么R中所有满足σ(α)=θ′∈R′的元素构成R的一个理想N，称为σ的核，且有R/N≌R′；如果环R满足左极小（或极大）条件，那么其任意同态像亦然。

设l是环R 的一个左理想，如果有正整数n使ln={θ}，那么l称为幂零的。

如果对l中每个元素α恒有正整数n(α)使公式,那么l称为诣零的。

显然幂零左理想必为诣零左理想,但反之则未必。

对R的右理想也有相应的定义。

如果P是环R 的一个理想,而对R 的任意两个理想A、B，只要AB嶅P，就必有A嶅P 或B嶅P,则P 称为R 的一个质理想或素理想。

如果环R 的零理想｛θ｝是R 的一个质理想，那么R 称为一个质 (素)环。

如果环R 除｛θ｝外不再含其他的幂零理想，那么R 称为一个半质(素)环。

质环恒为半质环，但反之则未必。

结构理论设R1,R2,…,Rm均为环R的非零子环。

如果R的每个元素α均可唯一地表为公式，且当i≠j时恒有公式,那么R 称为R1，R2,…,Rm的环直接和(或简称直和),记为公式。