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届高三数学二轮复习:数列专题及其答案

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看,高考命题热点考向可能为:1.必记公式(1)等差数列通项公式:a n=a1+(n-1)d.(2)等差数列前n项和公式:Sn=错误!=na1+错误!.(3)等比数列通项公式:a na1qn-1.(4)等比数列前n项和公式:S n=错误!.(5)等差中项公式:2a n=an-1+an+1(n≥2).(6)等比中项公式:a错误!=a n-1·an+1(n≥2).(7)数列{a n}的前n项和与通项a n之间的关系:a n=错误!.2.重要性质(1)通项公式的推广:等差数列中,an=am+(n-m)d;等比数列中,an=amqn-m.(2)增减性:①等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列;若公差小于零,则数列为递减数列.②等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1,则数列为递增数列;若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1,则数列为递减数列.3.易错提醒(1)忽视等比数列的条件:判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件.(2)漏掉等比中项:正数a,b的等比中项是±\r(ab),容易漏掉-ab.【真题体验】1.(2015·新课标Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.错误!B.错误!C.10 D.122.(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1=错误!,a 3a 5=4(a4-1),则a 2=( )A.2 B.1 C.\f(1,2) D.\f (1,8)3.(2015·浙江高考)已知{an }是等差数列,公差d 不为零.若a2,a 3,a7成等比数列,且2a 1+a2=1,则a1=__________,d=________.4.(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1,,,. (I)求{}n a 的通项公式;(II )求{}n b 的前n 项和.【考 点 突 破 】考点一、等差(比)的基本运算1.(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S1,2S2,S 3成等差数列,则a n =________.2.(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a1,b 4=a 15,求{bn}的前n 项和T n .考点二、等差(比)的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n为等比数列{}n a 的前n项和,已知S2=2,S 3=-6.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求S n,并判断Sn +1,Sn,S n +2是否成等差数列。

.【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an错误!为同一常数.(2)通项公式法:①若a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d或an=kn+b(n∈N*),则{a n}为等差数列;②若an=a1qn-1=a m q n-m或an=pqkn+b(n∈N*),则{a n}为等比数列.(3)中项公式法:①若2an=a n-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{a n}为等差数列;②若a错误!=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),且an≠0,则{an}为等比数列.变式:(2014·全国大纲高考)数列{a n}满足a1=1,a2=2,an+2=2a n+1-a n+2.(1)设bn=an+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【典例2】(1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42 C.63D.84(2)(2015·铜陵模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=12,则a5+a6=( )A.错误!B.12 C.6 D.错误!命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质【典例3】(1)(2014·全国大纲高考)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64(2)(2015·衡水中学二调)等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是() A.13 B.26 C.52 D.156[针对训练]1.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.2.在等比数列{a n}中,a4·a8=16,则a4·a5·a7·a8的值为________.3.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=______.【巩固训练】一、选择题1.(2015·新课标Ⅱ高考)设S n是等差数列{a n}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7 C.9D.112.(2014·福建高考)等差数列{a n}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于() A.8 B.10C.12 D.143.(2014·重庆高考)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列4.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S 2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.12D.-\f(1,2)5.(2015·辽宁大连模拟)数列{a n}满足a n-an+1=a n·an+1(n∈N*),数列{bn}满足b n=1an,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6( )A.最大值为99 B.为定值99C.最大值为100 D.最大值为200二、填空题6.(2015·陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________.7.(2015·安徽高考)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.8.(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为________.三、解答题9.(文)(2015·兰州模拟)在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的前n项和Sn.10、(2014·湖北高考)已知等差数列{a n}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{a n}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.11.(2015·江苏高考)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a错误!,a错误!,a错误!依次构成等比数列?并说明理由第2讲数列求和(通项)及其综合应用【高考感悟】从近三年高考看,高考命题热点考向可能为:【真题体验】1.(2015·北京高考)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>a1a3D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>02.(2015·武汉模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列{错误!}的前100项和为()A.\f(100,101) B.错误!C.错误! D.错误!3.(2015·福建高考)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设bn=2a n-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.【考点突破】考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.(2)已知Sn与an的关系,利用a n=错误!求an.(3)累加法:数列递推关系形如an+1=a n+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法:①递推关系形如a n+1=pan+q(p,q为常数)可化为a n+1+错误!=p错误!(p≠1)的形式,利用错误!是以p为公比的等比数列求解.②递推关系形如a n+1=pana n+p(p为非零常数)可化为\f(1,an+1)=错误!-错误!的形式.1.(2015·新课标Ⅱ高考)设Sn是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,an+1=Sn Sn+1,则S n=____________.2.(2015·铜陵模拟)数列{an}满足\f(1,3)a1+132a2+…+\f(1,3n)a n=3n+1,n∈N*,则a n=________.3.若数列{an}满足a1=3,a n+1=错误!,则a2015的值为________.考点二、数列的前n项和【规律感悟】1.分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组.(2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.2.裂项后相消的规律常用的拆项公式(其中n∈N*)①错误!=错误!-错误!. ②错误!=错误!错误!. ③错误!=错误!(错误!-错误!).3.错位相减法的关注点(1)适用题型:等差数列{a n}乘以等比数列{bn}对应项({an·bn})型数列求和.(2)步骤:①求和时先乘以数列{b n}的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.4.倒序求和。

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