2003年北京市中考数学试卷一、选择题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．5D．﹣52．（4分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣9B．﹣6C．﹣D．3．（4分）计算a3•a4的结果是（）A．a12B．a C．a7D．2a44．（4分）2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6 000亿立方米，6 000亿立方米用科学记数法表示为（）A．6×102亿立方米B．6×103亿立方米C．6×104亿立方米D．0.6×104亿立方米5．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形6．（4分）如果两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，那么这两个圆的公切线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（4分）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6D．68．（4分）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．9．（4分）如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（）A．55°B．90°C．110°D．120°10．（4分）如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于（）A．20πcm2B．40πcm2C．20cm2D．40cm2 11．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 12．（4分）在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（）A．68，55B．55，68C．68，57D．55，57 13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．214．（4分）三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．16．（4分）如图：在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE ∥BC，如果BC=8cm，AD：AB=1：4，那么△ADE的周长等于cm．17．（4分）如图，B、C是洲河岸边两点，A是河对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=200米，则点A到岸边BC的距离是米．18．（4分）观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41…猜测第n个等式（n为正整数）应为．三、解答题（共8小题，满分48分）19．（4分）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣920．（4分）计算：21．（6分）用换元法解方程：22．（5分）如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接；（2）猜想：=；（3）证明．23．（6分）在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段某市的一环路、二环路、三环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“一环路车流量为每小时4000辆”；乙同学说：“三环路比二环路车流量每小时多800辆”；丙同学说：“二环路车流量的3倍与三环路车流量的差是一环路车流量的2倍”．请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段二环路、三环路的车流量分别是多少辆？24．（7分）已知关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个实数根为x1、x2，且（x1﹣x2）2=16．如果关于x的另一方程x2﹣2mx+6m﹣9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值．25．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积．26．（8分）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2003年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．5D．﹣5【解答】解：|﹣|=﹣（﹣）=．故选：B．2．（4分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣9B．﹣6C．﹣D．【解答】解：原式==．故选D．3．（4分）计算a3•a4的结果是（）A．a12B．a C．a7D．2a4【解答】解：a3•a4=a3+4=a7．故选C．4．（4分）2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6 000亿立方米，6 000亿立方米用科学记数法表示为（）A．6×102亿立方米B．6×103亿立方米C．6×104亿立方米D．0.6×104亿立方米【解答】解：6 000亿立方米=6×103亿立方米．故选B．5．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形【解答】解：A、B、C中，既是轴对称图形，又是中心对称图形；D、只是轴对称图形．故选：D．6．（4分）如果两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，那么这两个圆的公切线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，3+5=8＜10，∴两圆相离，有4条公切线．故选D．7．（4分）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6D．6【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，﹣3），∴﹣3=，得k=6．故选：D．8．（4分）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB==．故选：B．9．（4分）如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（）A．55°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵∠OAC=90°，∴∠OAB=90°﹣55°=35°，∴∠AOB=180°﹣35°×2=110°．故选：C．10．（4分）如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于（）A．20πcm2B．40πcm2C．20cm2D．40cm2【解答】解：圆柱的侧面积=2×4×π×5=40πcm2．故选：B．11．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1【解答】解：由题意知：k≠0，△=36﹣36k＞0，∴k＜1且k≠0．故选：C．12．（4分）在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（）A．68，55B．55，68C．68，57D．55，57【解答】解：在这一组数据中68是出现次数最多的，故众数是68，而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是55，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是55．故选：A．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：连接OC∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=CD，∵CD=8，∴CE=4，∵AB=10，∴由勾股定理得，OE===3．故选：C．14．（4分）三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵水库水位由106米开始上升．应排除A、D；∵水库水位匀速上升，不可能是C；B中的直线是匀速变化的，符合题意．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．16．（4分）如图：在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE ∥BC，如果BC=8cm，AD：AB=1：4，那么△ADE的周长等于6cm．【解答】解：∵点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AD：AB=1：4∴其周长比为1：4∵BC=8cm，三角形ABC为等边三角形∴△ABC的周长为24cm∴△ADE的周长为6cm．17．（4分）如图，B、C是洲河岸边两点，A是河对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=200米，则点A到岸边BC的距离是100米．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．∵∠ABC=45°，∠ACB=45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∵BC=200，∴AD=BD=BC=100（米）．18．（4分）观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41…猜测第n个等式（n为正整数）应为9（n﹣1）+n=10n﹣9．【解答】解：根据分析：即第n个式子是9（n﹣1）+n=10（n﹣1）+1=10n﹣9．故答案为9（n﹣1）+n=10n﹣9．三、解答题（共8小题，满分48分）19．（4分）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣9【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣9，=x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．20．（4分）计算：【解答】解：原式=﹣1﹣2+1=．21．（6分）用换元法解方程：【解答】解：设x2﹣3x=y，则原方程化为，解得y1=﹣2，y2=﹣3．当y1=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=1，x2=2；当y2=﹣3时，x2﹣3x=﹣3，∵△＜0，∴此方程无实数根；经检验：x1=1，x2=2都是原方程的根．∴原方程的根是：x1=1，x2=2．22．（5分）如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接BF；（2）猜想：DE=BF；（3）证明．【解答】解：解法一：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∴∠DAE=∠BCF．在△BCF和△DAE中，，∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE．解法二：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，DO=OB．∵AE=FC，∴AO﹣AE=OC﹣FC．∴OE=OF．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF=DE．解法三：（如图）（1）连接DF．（2）猜想：DF=BE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB．∴∠DCF=∠BAE．在△CDF和△ABE中，，∴△CDF≌△ABE．∴DF=BE．23．（6分）在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段某市的一环路、二环路、三环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“一环路车流量为每小时4000辆”；乙同学说：“三环路比二环路车流量每小时多800辆”；丙同学说：“二环路车流量的3倍与三环路车流量的差是一环路车流量的2倍”．请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段二环路、三环路的车流量分别是多少辆？【解答】解：设二环路车流量每小时x辆，那么三环路车流量每小时（x+800）辆，依题意得：3x﹣（x+800）=2×4000，∴x=4400，x+800=5200，答：二环路车流量为4400辆，三环路车流量为5200辆．24．（7分）已知关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个实数根为x1、x2，且（x1﹣x2）2=16．如果关于x的另一方程x2﹣2mx+6m﹣9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+3m=0①的两个实数根，∴x1+x2=2m，x1•x2=3m．∵（x1﹣x2）2=16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=16．∴4m2﹣12m=16．解得m1=﹣1，m2=4，（1）当m=﹣1时，方程x2﹣2mx+3m=0化为：x2+2x﹣3=0．解得：x1=﹣3，x2=1．方程x2﹣2mx+6m﹣9=0化为：x2+2x﹣15=0．解得：x'1=﹣5，x'2=3．∵﹣5、3不在﹣3和1之间，∴m=﹣1不合题意，舍去．（2）当m=4时，方程x2﹣2mx+3m=0化为：x2﹣8x+12=0，解得：x1=2，x2=6．方程x2﹣2mx+6m﹣9=0化为：x2﹣8x+15=0，解得：x'1=3，x'2=5．∵2＜3＜5＜6，即x1＜x'1＜x'2＜x2，∴方程x2﹣2mx+6m﹣9=0的两根都在方程x2﹣2mx+3m=0的两根之间．∴m=4，综合（1）（2），m=4．25．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC∵∠B=∠CAE∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE∵∠ADE=∠BAD+∠B∴∠ADE=∠DAE∴EA=ED∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=90°∴AF=DF（2分）（2）解：连接DM∵DE是半圆C的直径∴∠DME=90°∵FE：FD=4：3∴可设FE=4x，则FD=3x∴DE=5x∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=x∴ME=AE﹣AM=5x﹣x=x在Rt△DME中，cos∠AED=（5分）（3）解：过A点作AN⊥BE于N∵cos∠AED=∴sin∠AED=∴AN=AE=x在△CAE和△ABE中∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA∴△CAE∽△ABE∴∴AE2=BE•CE∴（5x）2=（10+5x）•x∴x=2∴AN=x=∴BC=BD+DC=10+×2=15∴S=BC•AN=×15×=72（8分）．△ABC26．（8分）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2，∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）．（2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0∴t=3a∴y=ax2+4ax+3a∴D（0，3a）∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上，∵C（﹣4，3a）∴AB=2，CD=4∵梯形ABCD的面积为9∴（AB+CD）•OD=9∴（2+4）•|3a|=9∴a=±1∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4x﹣3．（3）设点E坐标为（x0，y0），依题意，x0＜0，y0＞0，且∴y0=﹣x0①设点E在抛物线y=x2+4x+3上，∴y0=x02+4x0+3解方程组得，∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧∴点E坐标为（，）．设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0）∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n∴，解得∴直线BE的解析式为y=x+∴把x=﹣2代入上式，得y=∴点P坐标为（﹣2，）②设点E在抛物线y=﹣x2﹣4x﹣3上∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3，解方程组消去y0，得∴△＜0∴此方程组无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小．。