物理竞赛模拟试题（一）
1.在卢瑟福弹性散射实验中，入射粒子散射和靶核反冲是伴随发生的（见图），图中θL 和ϕL 分别表示实验室系中的散射角和靶核的反冲角，θC 和ϕC 分别表示相应的质心系中的角度.假定入射粒子是动能为2MeV 的氦核(42
He )，轰击靶中假定为静止的氢核(1H )，作下述计算：已知：在质心系中，出射粒子卢瑟福散射微分截面为
σC (θC )=(a 4)21sin 4(θC /2
)其中库仑散射因子a =
z 1z 2e 24πε0E C
式中z 1、z 2分别为入射粒子和靶核的电荷数，E C 是入射粒子的质心系能量，组合常数e 2
4πε0=1.44eV ·nm.
（1）在实验室系中沿ϕL =30◦方向反冲氢核动能多大？
（2）在实验室系中ϕL =30◦时的反冲氢核的卢瑟福散射微分截面为多大（1b =10−28m 2）
？
2.如图所示，轰炸机A 以速度v 1做水平匀速飞行，飞行高度为H .
（1）为使自由释放的炸弹击中地面目标B ，应在距B 多远的水平距离L 处投弹？
（2）在地面上与B 相距D 处有一高射炮C ，在A 释放炸弹同时发射炮弹，为使炮弹能击中飞行中的炸弹，试问炮弹初速v 2不应小于多少？（认为此问H =H 1高度较高）
（3）若上问中v 2取最小值，炮弹发射角γ为多大？
（4）当H =H 2高度较低时，（2）求得结果不再适用，试写出此时H 2应满足的条件，并求出此时初速v 2最小值
.
3.如图所示，半径为R 的空心圆环固定在滑块上，滑块放置在光滑水平地面上，滑块.与圆环的总质量为M ，质量为m 的小球（看成质点）可在环内做无摩擦运动开始时小球位于圆环最高点，环与小球均静止.在微小扰动下小球沿环下滑.
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（1）试求小球相对地面的轨迹方程；
（2）试用物理方法求小球轨迹（相对一地面）在图中A处的曲率半径.
（3）试用物理方法求小球轨迹（相对一地面）在图中B处的曲率半径.
4.如图所示，质量为M、半径为R的圆筒垂直放置在光滑水平面上.质量为m的小球从圆筒顶部
沿圆筒内壁的螺旋沟槽无摩擦地下滑.筒高h正好等于螺距，即小球沿筒壁绕一周时正好到达筒底.开始时小球与圆筒均静止不动.
（1）试分析下滑过程中圆筒的运动；
（2）试求小球相对地面参考系所走过的路程.
5.如图所示，质量为M的均匀细杆AB静止放置在光滑水平面上，B端的弹簧机构（其质量可
略）将质量为m的小球（质点）以速度v水平弹出，v的方向与AB杆的夹角用φ表示.要求弹出的小球恰好能与细杆的A端相遇（细杆转过的角度不超过π）.答案若不为整数，保留到小数点后三位.
（1）试确定质量比γ=M/m的上限
（2）角度φ的上限.
6.一陨石在地表上方高为h的圆形轨道上绕地球运动，它突然与另一质量小得多的小陨石发生正
碰，碰后损失掉η的动能.假定碰撞不改变大陨石的运动方向和质量.试求大陨石在碰撞后最接近地心的距离.已知地球半径R.
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7.如图所示，在光滑水平面上有质量为M 且均匀分布、半径为R 的圆环.质量为m (m <M )的质点可在环内壁做无摩擦滑动开始时，圆环静止，环心在O 点，质点位于(O,R )处，速度沿x 方向，大小为v 0.
（1）试证明质点不会离开环内壁；
（2）试导出质点的运动方程；
（3）试求质点运动轨迹最上方转折处的曲率半径.
（4）试求质点运动轨迹中间转折处的曲率半径.
8.如图所示，一宇宙飞船绕地球做圆周；开动圆轨道半径为r 0.开动飞船上的喷气发动机可改变运动轨道.假定每次喷气只维持极短的时间，应面喷气时间可忽略；每次喷气后飞船质量可看作不变.喷气后飞船的动量将发生变化，单位质量的动量改变 ∆(mv ) /m =|∆v |，为方便将|∆v |改记为∆v .称为比冲量.已知地球半径为R ，质量为M .
（1）为使飞船从r 0轨道上逃逸地球的束缚，发动机作第一次喷气，试问所需最小比冲量是多少？
（2）.在飞船飞行过程中，飞船作第二次喷气，使它在半径为r 1的更高的圆轨道上飞行.试问所需比冲量是多少？
（3）接第二问，应向什么方向喷气？
（4）为使飞船从r 1轨道返回地球，发动机在A 点作第三次喷气.喷气按向正前方.要求飞船沿地球表面的切面到达图1中严格标定的B 点的方式进行；试计算该方式所需的比冲量.
（5）还有另一种喷气方案是向外侧喷漆，要求飞船沿地球表面的切面到达图1示意性给出的某一个B ′点.试计算该方式所需的比冲量.
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