4R cos2 sin R(sin sin )
把式：
4R cos2 sin R(sin sin )
整理得：
sin 4R cos2 sin sin 3sin 4sin3 sin 3
所以得：
3
对任一层研磨体而言，知 道脱离角，就有一个，可以 确定其降落点。
yY
αi
01
gR
将
2 Rn 2 v
30
代入上式得： con 2 Rn2
900g
整理得：
cos Rn 2
900
Pc V A
α
G O
称这为研磨体运动基本方程
cos Rn 2
900
研磨体运动基本方程中 各符号的意义： R：研磨所在的半径，m； n:球磨机筒体转速，n/p;
:研磨体脱离角。
Pc V A
α
G O
研磨体一般为钢球、钢锻、钢棒、卵石、 砾石和瓷球等。为了防止筒体被磨损，在筒体 内壁装有衬板。
研磨体在离心力和与筒体内壁的衬板面产 生的摩擦力的作用下，贴附在筒体内壁的衬 板面上，随筒体一起回转，并被带到一定高 度，在重力作用下自由下落，下落时研磨体 冲击底部的物料把物料击碎。
此外，在磨机回转的过程中，研磨体 还产生滑动和滚动，因而研磨体、衬板与物 料之间发生研磨作用，使物料磨细。 物料的轴向运动：由于进料端不断喂入新 物料，使进料与出料端物料之间存在着料面 差能强制物料流动，并且研磨体下落时冲击 物料产生轴向推力也迫使物料流动，另外磨 内气流运动也帮助物料流动。因此，磨机筒 体虽然是水平放置，但物料却可以由进料端 缓慢地流向出料端，完成粉磨作业。
7.1.1.2研磨体运动的基本状态 图 (a)，转速太慢，研磨体和物料因摩擦力被筒体带到等于
动摩擦角的高度时，研磨体和物料就下滑，称为“倾泻状态”， 对物料有研磨作用，但对物料的冲击作用很小，因而使粉磨效率 不佳；图(c)，转速太快，研磨体和物料在其惯性离心力的作用高 转速贴附筒体一起回转（作圆周运动），称为“周转状态”，研 磨体对物料起不到冲击和研磨作用；图 (b)，转速比较适宜，研 磨体提升到一定高度后抛落下来，称为“抛落状态”，研磨体对 物料较大的冲击和研磨作用，粉磨效率高。
则F2： F2
dF 1
2
2
1 2
16Rt2 sin 2 cos2 d
进行积分得：
F2
Rt2
2
sin 2
cos2
1 2
（3） Z－θ计算图线
研磨体填充系数：研磨体体积与磨机净空体积的 比值。
则： F2 F1 R12
把F1和F2代入上式，是个超越方程，为了便于求 解，采用图解法
Rt2 8 sin 2
R
C
R1
X 0 R2
由式（7.5）
F1
D
x 4R sin cos2 4R cos sin 2
B
联立上述二式得:
Y
x vtsin 4R cos sin 2
整理得： t 8Rt sin 2 cos
v
A
F2
dF2
R
C
R1
将 t 4Rsin cos 代入得：
0 R2
X
v
F1
D
B
把上式代入微分式得：dF2 vtdR 16 Rt2 sin 2 cos2 d
7.1.2.3研磨体运动脱离点轨迹 从研磨体运动基本方程 cos Rn2 可以看出：
900
半径R不同，脱离角就不同，也就是说，研磨体 所在的层不同，脱离位置也就不同。
脱离点轨迹定义：各层研磨体脱离点的连线
7.1.2.3研磨体运动脱离点轨迹
把研磨体运动基本方程 cos Rn2 做个变形： 900
取Z为纵坐标轴,θ为横坐标轴。将θ分别以5°、 10°、15°……50°代入式中求出相对应的Z值，便 可将坐标上的各点连成一条曲线，如图7.7所示。此Z
θ曲线能适应一般情况下的磨机转速n及研磨体填充 系数φ的变化。
Z 8 sin 2 2 sin 2 (2 cos 2 )
取Z为纵坐标,θ为横坐 标轴。
把方程式（7.9）移轴 至XX-YY为坐标基准（如 图7.5所示）,则：
X x R sin 4R cos2 sin Rsin
为了求得最小值，取导 数 使： dX 0
d
yY
x
01
X
0
x
对式 X x Rsin 4R cos2 sin Rsin 进行求导并使其导数等于零，并整理得：
16cos4 14cos2 1 0
解之得： 2 73 044 '
代入研磨体运动基本方程得：
R2
900 cos 2
n2
900 cos 73044 ' n2
252 n2
结论：
因此在确定研磨体装填量时，务必使研磨体最内 层的半径比252/n2要大，否则研磨体在降落时，将会 互相干扰、碰撞，这就会损失它们的能量，降低粉磨 效率。
R
F2
F1
C 0 R2 D
dF1 B
（2）F2的计算
Y
从图中可以看邮其外
形不是均匀的，但可以计
A
F2
dF2
算出单位时间抛出的面积 ，也可以知道总的抛出时 间。这样就可以求出微面
R
C
R1
X 0 R2
F1
D
积，然后用积分的方法求
B
得：
在时间T内，抛出的微
Y
小面积：
dF2 vtdR
A
F2
dF2
x vtcos vtcos(90 ) vtsin
x
X
0
7.1.2.5研磨体运动最内层 半径
概念：研磨体最内层是指 运动着的研磨体在某一最 小半径R2圆弧上，随筒 体回转提升至一定高度 后，仍能按抛物线轨迹 降落，降落点处于极限 位置
yY
x
01
X
0
x
欲求得此最内层半径 R2，首先应按降落曲线求 得横坐标X的最小值，因 Xmin处在降落点的极限位 置。
将（7.7）、（7.8）联合，求得 B点坐标：
x 4R sin cos2 y 4R cos sin 2
yY
x
01
X
0
x
式中(-)号表示降落点在横坐
yY
标之下，以绝对值表示为：
引入 θ y，则4R：cos sin 2
引入，y根据4几Rc何os关2 系si知n：
αi
01
x
X
0
所以： y R(sin sin )
3）求 R2
R1
R2 2Rt sin2 sin 24010' 0.71 R1 2Rr sin1 sin 35010'
所以 R2 0.71R1
由式（7。13）知：R2 m in
252 n2
252
32.2
2 D1
0.486R1
由于磨：体R2仍 R作2m分in ，层因运些动在，，n而 不32D.互21 相及干扰，0.碰3时撞，。最最内内层层的极研
4
s sin 2
2
sin 2 cos2 1 2
4Rt2 sin 2 1
整理得：
8 sin2 4 s sin 2 2 sin 2 cos2
为了便于求解，采用图解法令：
1 2
4 sin2 1
Z 8 sin 2 2 sin 2 (2 cos 2 )
Z 8 sin 2 2 sin 2 (2 cos 2 )
计算时略去不计； （3） 磨机筒体内物料对研磨体运动的影响略去不计； (4) 研磨体作为一质点，因此最外层研磨体的回转半径，可以用
筒体的有效内径表示。
7.1.2.2研磨体运动的 基本方程式
研磨体脱离条件： 研磨体与筒体之间 的正压力为零。 即：
Pc Gcos
Pc V A
α
G O
即： G • v2 G cos
限半径为研磨体半径的0。71倍。
4）Βιβλιοθήκη F1 F1 F2， F2 F1 F2
根据前面推导，得： F1
8Rt2
sin 2
2
sin
2
2
1 2
F1 F2
4Rt2 sin 2 1
F2
Rt2
2
2
sin
2
cos 2
1 2
F1 F2
4Rt2 sin 2 1
把：2 24010' ，1 35 010 ' 代入上边二式得：
2
式中：v 研磨自抛落点抛 出时的初速度，m/s; t 时间，s.
yY
x
01
X
0
x
将抛物线方程组中t的消去， 得:
y x tan gx2 2v2 cos2
yY
x
01
X
0
x
以筒体中心为圆心，建立坐标系， 则圆的方程为：
X 2 Y 2 R2
圆在坐标系xx-yy中的方程为： (x R sin )2 ( y R cos )2 R2
A
R1
R
F2
F1
C 0 R2 D
dF1 B
因为：R 2Rt cos 2Rt cos(90 0 ) 2Rt sin
对R的微分得：dR 2Rt cosd
则： dF1 6R2t cos 2d
进行积分得：
1
F1 8Rt 2 sin 2d
2
8Rt2
sin 2
1 2
sin 2 4
1 2
A
R1
Y
Rt
αi
Ri
X
0
7.1.2.4研磨体运动降落点轨迹
研磨体自脱离点
yY
o1抛出后，沿抛物线轨 迹下落，其降落点位置