第一章 关于集合与集合论在许多数学教材上都会见到这样一种说法：集合论是现代数学的基础，集合概念是数学的基本概念。

那么为什么会有这种说法呢？这种说法的依据是什么呢？在这一章，我们将对此给出一种解释。

在本章的第1节，将简要重温一些与集合论相关的基本概念与符号，其中大多数的概念与符号用法是每一个高中生都应当熟悉的。

在第2节，本书作者对集合论的意义及其产生的思想渊源进行了介绍和分析，其中有些是作者个人的观点，仅供读者参考。

最后两节则是在讲一些基本逻辑常识的基础上，介绍了较为规范的集合表示方法以及用集论语言定义的某些重要数学概念。

§1. 集合论中的常见概念与符号1.1. 集合概念与属于关系在集合论中，“集合”这个概念是作为不定义的基本概念，以符号“∈”表示的“属于”关系，也是不定义关系。

在朴素集合论中，人们用日常语言给集合概念和属于关系以直观说明。

其中最常见的是集合论创始人康托的说法：“将一些明确的（确定的）、彼此有区别的、具体的或理念中抽象的对象看作一个整体，便叫作一个集合。

”在本书的前三章，便以康托的这个描述作为“集合”概念含义的说明。

理解这个说明，主要注意如下几点.（1）当我们提到一个集合时，这个集合自身是作为一个整体被看待的；（2）集合是由可以确定的一些对象个体汇集而成的，也就是说，必须可以清晰判定任何一个对象个体是否在这些对象个体之中，并且可以明确区分开这些对象个体中任何两个不同的对象个体。

（3）在朴素集合论中，集合中的元素既可以是物理世界中的对象，也可以是我们头脑中形成的观念对象。

比如：将“北京大学2002年所有在籍学生的全体”作为一个集合，其元素都是具体现实的人（在籍学生）；将“所有实数的全体” 的对象，作为一个集合，其元素（实数）便是由理念抽象的对象组成的集合。

作为数学理论，集合论所讨论的集合，基本上都是由人类理念在其抽象过程中产生的对象汇集而成的。

只有在将数学应用于现实时，才会涉及到由现实物理世界中的对象作为元素组成的集合。

因此，在理解作为数学理论的集合论时，一定要适应抽象的思维方式和观念对象的建构方式。

如果以符号A 表示一个集合，a 表示一个对象个体，假如a 在那些汇集为集合A 的对象个体之中，我们称a 属于A ，记为A a ∈，否则记为A a _∈。

如果A a ∈，称a 是A 的元素，也称集合A 含a 。

按照上面的理解，若A 与B 是两个集合，当我们可以判定（证明）A 的元素也都是B 的元素或者可以判定没有任何一个A 中的元素不属于B ，我们称A 被B 所包含，或集合B 包含A ，记为B A ⊆。

集合， 注：请读者注意在本书中对“含”与“包含”这两个词汇的不同用法。

当B A ⊆且A B ⊆时，我们便认为A 与B 是两个完全相同的集合，记为A ＝B ，这时A 与B 作为集合被看作是同一个对象。

如果B A ⊆，且A ≠B 可以明确记作B A ≠⊂，称A 是B 的真子集。

1.2 . 集合运算及某些特殊集合的符号表示我们假设读者已经熟悉常见的集合运算（的表示方法）及其满足的运算律。

这里只将其列出，不给出详细的解释和验证。

在下列各式中，将符号,,,,,i i B A B A X A 均表示集合，I 表示指标集。

（1） 集合的常见运算ⅰ）集合的并：A A B A A i ∈∈⋃⋃⋃ , , I i ； ⅱ）集合的交；A A B A A i I i ∈∈⋂⋂⋂ , , ； ⅲ）集合的差：B A \；ⅳ）集合的补：若X A ⊆记A X A C X \=，称A C X 为A 的补集（以X 为全集），当明确X 作为全集，不会引起混淆的情况下，将A C X 简记为C A ；ⅴ）对称差：)\()\(A B B A B A ⋃=∆。

（2） 集合运算所满足的运算律（ⅰ）交换律：A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ , ；（ⅱ）结合律：)()()()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂⋃⋃=⋃⋃ , ； （ⅲ）分配律)()()()()()(C A B A C B A C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂ , ； （ⅳ）迪摩根律：)\()\()(\)\()\()(\C A B A C B A C A B A C B A ⋃=⋂⋂=⋃ , ； （ⅴ）幂等律：A A A A A A =⋂=⋃ , ；（ⅵ）吸收律：A B A A A B A A =⋃⋂=⋂⋃)()( , ；如果以X 为全集，还有（ⅶ）同一律：A A A X A =⋃=⋂φ , ；（ⅷ）零律：φφ=⋂=⋃A X X A , ；（ⅸ）补余律：φ=⋂=⋃C C A A X A A , ；（x ）双补律：A A C C =)(；（xi ）推广迪摩根律：i Ii C i I i i I i C i I i A A A A ∈∈∈∈⋃=⋂⋂=⋃)()( , 。

下面再介绍一种表示集合的并与交运算的方法。

设A 是一个集合，并且A 中的元素也是集合，我们定义a A a A A a A a ∈∈⋂=⋂⋃=⋃ , 。

特别应当注意，只有当A 中元素也是集合的时候，A A ⋂⋃与才是有意义的。

其次，我们还规定：φφ⋂⋃ , 没有意义。

最后我们引入一些常用集合的表示符号：N 表示正整数集（以每个正整为其元素）；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集；[]b a ,表示以b a , 为端点的闭区间；][b a ,表示以b a , 为端点的开区间；]][[b a b a ,, , 分别表示左开右闭的和左闭右开的区间（以b a , 为端点）。

§2 集合论的内容和意义我们总能看到这样的提法：集合论是现代数学的基础。

但为什么集合论就是现代数学的基础呢？有些人困惑，像集合这样普通得不能再普通的概念，像各种集合运算（并、交、差）那样简单的运算关系并没有什么特别的困难。

为什么集合论却是迟于微积分学二百年才产生呢？以至于有人认为集合论迟到了两千年。

其实，要搞清这一点，就要先弄清“集合论”作为一门数学理论，它所研究的核心问题是什么，进而还要搞清数学的发展为什么要考虑这些问题。

2.1 集合论研究什么?其实，要搞清集合论是干什么的并不困难。

假设你面临有一群牛组成的集合，如果从纯数学的角度考虑，对此集合，你能干些什么呢？很显然，那就是“计数”。

至于这些牛是否有口蹄疫，并不是数学家感兴趣的事。

由此，可以得出结论，“集合论”所要研究的问题就是如何建立为集合（的元素）进行计数的理论。

有些初学者依然可能困惑，为集合计数不是太简单了吗?小学生都会。

是的，为有限集合计数大家都会，只要学过了自然数就行。

但是集合论所研究的都是为“无限集”计数的理论。

显然，这可不是一个简单的工作。

从这个意义上讲，自然数理论可以看成是关于“有限”的集合论，而集合论可以看成“无限”的“自然数理论”，即自然数理论到无限（集）的推广。

于是就产生了第二个问题，人类的活动都是有限的，所谓“无限”是无法完成的。

人们谈论无限时，都只是在说一个无法完成的过程。

它有什么必要成为研究的对象呢？为了说明这一点，有必要回顾高等数学（主要指微积分学）在发展过程中曾面临的一些问题。

2.2 变量数学，导数与无穷小许多人认为，微积分学的产生标志着从初等的常量数学时代进入到了高等的变量数学时代。

这种以变量与常量来区分高等数学（微积分学）与初等数学的看法也许有以下几点依据。

首先，微分学所研究的对象是函数。

以当时人们的直观认识，可以认为是在研究各种变量之间的关系，而非常量（数）的运算关系；其次，从所产生的新方法来看，主要引进了像求导数这样的计算。

而这个计算，又是以求解两个变量之商在变量趋于0时的生成结果．．．．为目的的；最后，从表达的语言来看，人们是以直观的动态语汇来描述导数产生过程的。

下面的几段论述源自微积分学的两位重要创立者，这些论述表明当时的人们是如何认识导数的。

牛顿认为导数是“量在其中消失的终极比，严格说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。

”而瞬时速度“既不是在物体达到最后位置、运动停止时之前的速度，也不是达到以后的速度，而是正在到达那一瞬间的速度（是无穷小的比）。

即物体以这样的速度到达它的最后位置并且停止。

同样的，就消失量的最后比来说，应理解为不是在量消失之前，也不是消失后，而是正当他们消失时的比。

”莱布尼茨认为：“一个过渡的状态或者这个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完全相等或精致，……而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态下，得留一些差，一些速度，一些角度，但它们每一个都是无穷小。

”莱布尼茨还认为：无穷小是一种理想元素，是一种有用的工具，它们有助于我们通过直观发现真理，而且这些无穷小也可遵循通常的四则运算法则进行运算。

他们这些费力的解释是为了回答导数dx dy或)('t ϕ是不是00的问题。

这也是现代某些没能深刻理解极限概念的人所追问的问题。

当时，一位著名的主观唯心主义哲学家贝克莱主教曾向微积分的拥护者们提出了类似的问题。

当牛顿和莱布尼茨以无穷小之比来说明导数时，它们无法回答“无穷小”到底是个什么东西。

一个不是0又比任何实数（的绝对值）都小的量还是数吗？显然不是，因为实数里面没有它。

这个像幽灵一样的“无穷小量”一直困扰着当时的数学家们。

这个思想上的困扰被人们称为数学史上的第二次危机。

2.3 标准极限理论的提出——数学思维公式和数学语言的转向仔细分析前面牛顿和莱布尼茨的那些说法，笔者认为在他们的思想方式中有如下一些局限性。

（1）他们将现实的运动过程与人的思维抽象过程混为一谈。

从而，其思想的表达都是用自然语言和直观的动态语汇进行描述。

（2）将导数运算与有限运算看成类似的，即认为最终比是变化过程中自然“生成”的，就如3+5=8一样，8是3于5合在一起才能实现的结果。

这种认识统治了相当长的时间，以至于人们会争议∑∞=-1)1(n n 到底是等于1，0，或是21。

后来，经过达朗倍尔、波尔查诺、柯西，尤其是维尔斯特拉斯等人的工作和思考，导数的“本质”逐渐地清晰起来。

这源于极限概念的提出和完善化。

最后形成标准化的即ε-语言的极限理论，彻底地澄清了原来在微积分学中的各种概念混乱。

那么极限理论的引入是如何解决了“第二次危机”中的困难呢?它在数学发展方向上起到了什么样的作用呢？笔者将对此作一简要分析（后面的某些观点属于个人的看法，仅供参考）。

在任何一本系统讲授微积分的教材中，人们都可以看到ε-语言定义的极限概念。

如果教材编写者写得清楚，我们都可以看出，所谓一个函数)(x f 在0x 点处的导数不过是差商00)()(x x x f x f x y--=∆∆在x ∆趋近于0（x 趋近于0x ）时的极限．．（如果存在）。