欧拉角
科技名词定义
中文名称：欧拉角
英文名称：Euler angles
定义：构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。
所属学科：机械工程（一级学科）；机构学（二级学科）；机构运动学（三级学科）
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欧拉角
用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。
目录
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz
欧拉角
量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
原理
欧拉角
Eulerian angles
用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
欧拉运动学方程
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz 以及固连于刚体的坐标系Ox┡y┡z┡。
以轴Oz和Oz┡为基本轴，其垂直面Oxy和Ox┡y┡为基本平面。
由轴Oz量到Oz┡的角度θ称为章动角。
平面zOz┡的垂线ON称为节线,它又是基本平面Ox┡y┡和Oxy的交线。
在右手坐标系中,由ON的正端看,角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线 ON的角度ψ称为进动角；由节线ON量到动轴Ox┡的角度嗞称为自转角。
由轴Oz和Oz┡正端看,角ψ和嗞也都按逆时针方向计量。
欧拉角(ψ，θ，嗞)的名称来源于天文学。
三个欧拉角是不对称的，且在几个特殊位置上具有不确定性（当θ＝0时,嗞和ψ就分不开）。
对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。
若令Ox┡y┡z┡的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz┡的三次转动Z(ψ)、N(θ)、Z┡(嗞)后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。
变换关系可写为：
欧拉角
R(ψ，θ，嗞)=Z┡(嗞)N(θ)Z(ψ)，
式中R、Z┡、N、Z是转动算子,并可用矩阵表示如下:
Image:374-01.jpg Image:374-02.jpg
在进行转动算子的乘法运算时，应从最右端做起。
刚体上任一点Q在两个坐标系中的坐标x、y、z和x┡、y┡、z┡都可以通过矢径Image:374-06.jpg的模和方向余弦来表出。
两组坐标之间有如下变换关系：
x＝x┡cos(x,x┡)+y┡cos(x,y┡)+z┡cos(x,z┡)，
y＝x┡cos(y,x┡)+y┡cos(y,y┡)+z┡cos(y,z┡)，
z＝x┡cos(z,x┡)+y┡cos(z,y┡)+z┡cos(z,z┡)。
反变换只须在同名坐标间对调记号。
如果刚体绕通过定点O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在与刚体固连的活动坐标系Ox┡y┡z┡上的投影为Image:374-x.jpg、
Image:374-y.jpg、Image:374-z.jpg，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：
Image:374-x.jpg＝夗sinθsin嗞＋夝cos嗞，
Image:374-y.jpg＝夗sinθcos嗞－夝sin嗞，
Image:374-z.jpg＝夗cosθ＋夓。
由上式可以看出，如果已知ψ、θ、嗞和时间的关系，则可用上式计算角速度ω在活动坐标轴上的三个分量；反之,如在任一瞬时已知t和ω的各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、嗞和时间t的关系，因而也就决定了刚体运动。
我们通常把上式叫做欧拉运动学方程。
作用
欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。
为欧拉首先提出而得名。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O 作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′ 。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点 O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为
ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ ＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
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欧拉角
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应用
应用研究
欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。
在刚体的问题上, xyz 坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。
全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。
关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。
如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。
在量子力学里，详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。
在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。
欧拉角的哈尔测度
欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式，通常在前面添上归一化因子
π2 / 8 。
欧拉角
单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。
这与特殊酉群的描述是等价的。
四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁 (gimbal lock) 现象。
因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。