注： 此处 ( z )与用来割破平面的广义 简单曲线有关 .
如：从原点起割破负实轴， (z)
2k k ( z ) 2k , k 0,1,2,3 当n 4时，
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k的辐角的范围为： 2k
2k , k 0,1,2,3 4 4 4 4
2k 2k Tk : , k 0,1,, n 1 n n n n 为z n的单叶性区域的一种分法, 且z n
将每个Tk映为z平面上除去原点及负实轴的区域.
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特别地：

注：
区域T 是z 的单叶性区域
n
2 k 1 T , 对2， | 2 || 1 |,arg 2 arg 1 , n k 1,2, , n 1, 则2 T .
0 ( z ) 2

从原点起割破正实轴，
第二章
解析函数
1
一、根式函数
1.幂函数的单叶性区域
定义1、规定根式函数 ＝ z为幂函数z 的
n n
反函数. 对z 0, ,
n z n | z |e
arg z 2 k i n
( k 0,1,2,, n 1)
n值函数
当z 0时， 0; 当z 时， ;
k n | z |e
k ( z )
4
i
,
2k k ( z ) 2k , k 0,1,2,3
9
取：
2k 2k Tk : , k 0,1,2,3 4 2 4
k ( z )
4 i
k n | z |e
,
2k k ( z ) 2 2k , k 0,1,2,3
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定理：给定z n的单叶性区域的一种分 法Tk ( k 0,1,, n 1)得到的n个单值分支函数
k ( n z )k皆为定义在z平面上除原点及连接原
点与无穷远点的一条广义简单曲线外的区域上的解 析函数.
d k 1 1 ( n z )k 且： n 1 dz dz n nz d k 1 n d z 1 n 1 或 z dz n 这里n z指的是n z的某一个特定的单值分支.
2 顶点在原点，张角不超 过 的角形域都是 n n z 的单叶性区域 .
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2、分出 n z的单值解析分支 n (1)从z 的反函数入手 给出z n的单叶性区域的一种分法， Tk ( k 0,1,, ( n 1)).
考虑z n， Tk的反函数： k ( n z )k ( k 0,1,, ( n 1))为 n z的n个单值分支函数 ,
这n个单值函数都定义于Tk 在z n下的象 集上，即为一个除去原点及连接原点和无穷原点 的一条广义简单曲线外的区域.
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注：给出的单叶性区域的分法不同，得到的单值 分支函数不同.
例：＝4 z
取：
2k 2k Tk : , k 0,1,2,3 4 4 4 4

原点和一条从原点到无穷原点的广义简单曲线 外的区域. 】
5
(2)一般地：对任意的 0 2 T : 0 0 都是z n的单叶性区域 . n 2k 2 2k Tk : 0 0 , k 0,1,, n 1 n n n 为z n的单叶性区域的一种分法.
都映为z平面上除去原点及正实轴的区域，此为 z n的单叶性区域的一种分法.
4
一般地：
【注：
区域列Tk 是函数z 的单叶性区域的一种
n
分法
（1）每个Tk 都是z n的单叶性区域； （2）Tk 互不相交；
（4）每个Tk 经过z 都映为平面上除
n
（3）Tk 都加上同一端的边界正 好填满整个z平面；
2是确定的，取z1的辐角值为 2。于是在G
内z的辐角就被惟一限定了.
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在G内我们可得：
k ( z )k | z |e
n n
( z ) 2 k
n
i
, k 0,1,2,n 1, z G
称为n z的n个单值解析分支.
当k固定时， k 就是n z的第k个单值解析分支 .
2
定义2
设 f ( z ), z D.若对z1 , z2 D且z1 z2 ,
有f ( z1 ) f ( z2 ), 则称f ( z )在D内是单叶的，并且 称区域D为f ( z )的单叶性区域 .
显然，D到G的单叶满变换 f ( z )是D到G 的一一变换. 于是， f ( z ), z D存在单值反函数 .
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限制辐角：
用一条连接0与的广义简单曲线将z平面 割破，割破了的z平面构成了一个以此割线为 边界的区域G . z0 G, 指定z0的一个辐角 1，则z1 G
作一条连接 z0，z1的简单曲线 G,当
z从z0沿连续的变动到z1时，z的辐角从 1 连续的变动到 2，由于不能绕原点一周，故
寻找z n的单叶性区域：
设 e i , z rei , 则由z n得
3
r n , n 2 (1) T : 0 是z n的一个单叶性区域 n 且z n将T映为z平面上除去原点与正实 轴
的区域.
2k 2 2k Tk : , k 0,1,, n 1 n n n 为z n的n个单叶性区域，且z n将每个区域
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(2)从 n z本身入手
对上例，为什么在复平面上同一个z，函数值会 落在T0 , T1 , T2 , T3 , 而在T0考虑z 4的反函数时， 却是单值的了？
（1）由于的辐角的不确定性.
(2)z的辐角已经被限制了 .
所以，可以用限制辐角 的方法来分出 ＝n z 的单值解析分支 .