复数是由实数加上虚数单位i 组成，其中i^2 = -1 \,。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \,每个四元数都是1、i、j 和k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk \,。

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，看乘数表四元数的优点是：表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）比矩阵更简炼（也更快速）单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

以矩陣表示四元數[编辑]有兩種方法能以矩陣表示四元數，並以矩陣之加法、乘法應用於四元數之加法、乘法。

第一種是以二階複數矩陣表示。

若h = a + bi + cj + dk 則它的複數形式為：這種表示法有如下優點：所有複數(c = d = 0) 就相應於一個實矩陣。

四元數的絕對值的平方就等於矩陣的行列式。

四元數的共軛值就等於矩陣的共軛轉置。

對於單位四元數(|h| = 1) 而言，這種表示方式給了四維球体和SU(2)之間的一個同型，而後者對於量子力學中的自旋的研究十分重要。

（請另見泡利矩陣）第二種則是以四階實數矩陣表示：其中四元數的共軛等於矩陣的轉置。

（转载）四元数入门(2012-02-14 00:52:24)转载▼标签：computer graphic quaternion 四元数it 分类：学习（转载）四元数入门---------------------------------------------------------------------/showthread.asp?threadid=735114元数宝典这是国内找不到的超好文章。

（为什么大陆的4元数文章很垃圾呢？）（翻译中。

奉献给大家~~）70秒即懂，能使用，用四元数，4元数，阔特尼恩，Quaternion旋转(C) 中田亨（独立行政法人产业技术综合研究所数字人类研究中心研究员博士（工学））2003年11月25日★这个页面的对象读者想把三次元的旋转，用CG等定量地处理的人使用欧拉角(Euler Angles)的话，不懂得其道理的人卡尔丹角和欧拉角(Cardan Angles)不能区别的人对吉恩瓦尔洛克很困惑的人但是，对数学之类麻烦的事情很讨厌的人想要实例程序的人没有时间的人★旋转篇：我将说明使用了四元数（si yuan shu, quaternion）的旋转的操作步骤（１）四元数的虚部，实部和写法所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。

4个元素中，一个是实部，其余3个是虚部。

比如，叫做Q的四元数，实部t而虚部是x,y,z构成，则像下面这样写。

Q = (t; x, y, z)又，使用向量V=(x,y,z)，Q = (t; V)也可以这么写。

正规地用虚数单位i,j,k的写法的话，Q = t + xi + yj + zk也这样写，不过，我不大使用（２）四元数之间的乘法虚数单位之间的乘法ii = -1, ij = -ji = k (其他的组合也是循环地以下同文)有这么一种规则。

（我总觉得，这就像是向量积（外积），对吧）用这个规则一点点地计算很麻烦，所以请用像下面这样的公式计算。

A = (a; U)B = (b; V)AB = (ab - U·V; aV + bU + U×V)不过，“U·V”是内积，「U×V」是外积的意思。

注意：一般AB<>BA所以乘法的左右要注意！（3）3次元的坐标的四元数表示如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示，P = (0; x, y, z)则要这么写。

另外，即使实部是零以外的值，下文的结果也一样。

用零的话省事所以我推荐。

（４）旋转的四元数表示以原点为旋转中心，旋转的轴是(α, β, γ)（但α^2 + β^2 + γ^2 = 1），（右手系的坐标定义的话，望向向量(α, β, γ)的前进方向反时针地）转θ角的旋转，用四元数表示就是，Q = (cos(θ/2); αsin(θ/2), βsin(θ/2), γsin(θ/2))R = (cos(θ/2); -αsin(θ/2), -βsin(θ/2), -γsin(θ/2))(另外R 叫Q 的共轭四元数。

）那么，如要实行旋转，则R P Q = (0; 答案)请像这样三明治式地计算。

这个值的虚部就是旋转之后的点的坐标值。

（另外，实部应该为零。

请验算看看）*未完。

instemast_REAL 2007-2-24 19:04:57注册: 2007-2 状态: Offline 1 Topinstemast_REALExp:124侦察兵发表于: 2007-2-24 19:06:00 档案| 短信| 树状| 收藏| 编辑| 删除| 引用--------------------------------------------------------------------------------Re:4元数宝典/// Quaternion.cpp/// (C) Toru Nakata, toru-nakata@aist.go.jp/// 2004 Dec 29#include <math.h>#include <iostream.h>/// Define Data typetypedef struct{double t; // real-componentdouble x; // x-componentdouble y; // y-componentdouble z; // z-component} quaternion;//// Kakezan 乘quaternion Kakezan(quaternion left, quaternion right) {quaternion ans;double d1, d2, d3, d4;d1 = left.t * right.t;d2 = -left.x * right.x;d3 = -left.y * right.y;d4 = -left.z * right.z;ans.t = d1+ d2+ d3+ d4;d1 = left.t * right.x;d2 = right.t * left.x;d3 = left.y * right.z;d4 = -left.z * right.y;ans.x = d1+ d2+ d3+ d4;d1 = left.t * right.y;d2 = right.t * left.y;d3 = left.z * right.x;d4 = -left.x * right.z;ans.y = d1+ d2+ d3+ d4;d1 = left.t * right.z;d2 = right.t * left.z;d3 = left.x * right.y;d4 = -left.y * right.x;ans.z = d1+ d2+ d3+ d4;return ans;}//// Make Rotational quaternion 求旋转四元quaternion MakeRotationalQuaternion(double radian, double AxisX, double AxisY, double AxisZ){quaternion ans;double norm;double ccc, sss;ans.t = ans.x = ans.y = ans.z = 0.0;norm = AxisX * AxisX + AxisY * AxisY + AxisZ * AxisZ;if(norm <= 0.0) return ans;norm = 1.0 / sqrt(norm);AxisX *= norm;AxisY *= norm;AxisZ *= norm;ccc = cos(0.5 * radian);sss = sin(0.5 * radian);ans.t = ccc;ans.x = sss * AxisX;ans.y = sss * AxisY;ans.z = sss * AxisZ;return ans;}//// Put XYZ into quaternion 把XYZ到四元quaternion PutXYZToQuaternion(double PosX, double PosY, double PosZ) {quaternion ans;ans.t = 0.0;ans.x = PosX;ans.y = PosY;ans.z = PosZ;return ans;}///// mainint main(){double px, py, pz;double ax, ay, az, th;quaternion ppp, qqq, rrr;cout << "Point Position (x, y, z) " << endl;cout << " x = ";cin >> px;cout << " y = ";cin >> py;cout << " z = ";cin >> pz;ppp = PutXYZToQuaternion(px, py, pz);while(1) {cout << "/nRotation Degree ? (Enter 0 to Quit) " << endl;cout << " angle = ";cin >> th;if(th == 0.0) break;cout << "Rotation Axis Direction ? (x, y, z) " << endl;cout << " x = ";cin >> ax;cout << " y = ";cin >> ay;cout << " z = ";cin >> az;th *= 3.1415926535897932384626433832795 / 180.0; ///Degree -> radian;qqq = MakeRotationalQuaternion(th, ax, ay, az);rrr = MakeRotationalQuaternion(-th, ax, ay, az);ppp = Kakezan(rrr, ppp);ppp = Kakezan(ppp, qqq);cout << "/nAnser X = " << ppp.x<< "/n Y = " << ppp.y<< "/n Z = " << ppp.z << endl;}return 0;}*未完。