（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
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∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
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位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
相交:一个交点
思考：如何通过研究方程判断
x
2
y2
4
得
1-k2 x22kx50
方程只有一解
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当 1k2 0即 k 1时，方程只有一解
当 1k2 0时，应满足 4k22(01k2)0 解得 k 5
2
故 k的值为 1， 5
2
拓展延伸
引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2 y2 1 只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
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1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半 支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的
1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 联立后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。
有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。
2、利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。
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1.过点P(1,1)与双曲线
情感目标：
感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；
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学习重难点
学习重点
理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系两种求 法。
学习难点
数形结合方法中，直线与双曲线位置关系中的相 切有一个交点，相交有一个交点的问题讨论。
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复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
x2
-y2 2
=1
2x2 -4x+3=00
y-1=2(x-1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
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解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验,
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练2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
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解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: （1） 利和用根公与式系|A 数B关|系1 求k弦2x长1x21k12 y1y2
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形:
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
y=kx+b
y2 x2
(5k23)x210bkx5b2150
L 3 y与 = k C x5 + 相 b 交 1于 A ,B 两 点 , 5 k 2 3 0 , x A x B 3 1 0 k 5 k b 2
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
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△=0 △＜0
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例题解析
例1：如果直线 y kx1与双曲线 x2 y2 4
仅有一个公共点，求 k 的取值范围．
解：
由
y kx 1
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郭金梅
学习目标
知识与技能目标
①利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关 系。 ②借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观 理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。
能力目标：
①感悟几何问题代数化解法。 ②培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问 题与解决问题的能力；
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综合应用
x2 例5、设双曲线C：a2
y2
1(a
0)
与直线
l : xy 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
(1)e 6且e 2 2
(2)a 17 13
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双曲线第一、二定义的应用
交于P1
，P 2
两点，且点A是线段 P 1 P 2 的中点？
这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及
弦长|P
1
P
|，如果不存在，请说明理由。
2
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解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
直线与双曲线的位置关系
O
X
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举例说明：
y = kx+ m
x2 a2
- y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行
或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
x2-y2=4
1-k2≠0பைடு நூலகம்
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k,
25
25,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线与双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
方程(*)有两个不等的根
k
5, 2
25且k 1
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引申3：
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
引申5：
- x1x2= 2 >0
- <k<-1
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
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4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 直线斜率k的取值范围问题的方法：
k>1或k<-1
若去掉x>0,答案时？ k 1
2、直线 l: y3x10与双曲线 x 2 y 2 1 相交于
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A、B，线段|AB|的中点为M，则直线OM的
斜率是（ 4 ） 27
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直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
引申4：
- x1x2=
2 >0
1<k<
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
① 如果两点在同一支上,那么|AB||AF1||BF1|(见图一)
② 如果两交点分别在两支上,那么|AB |||A1F ||B1F|(|见图二)
y
y
A
F1
x
B
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图1
F1
x
A
B
图2
巩固练习：
1、过点 l:yk(x 2)与双曲线 x2y21(x0)
相交于A、B两点，则 l 的斜率的范围是（ ）
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3、由双曲线 x 2 y 2 1 上的一点P与左、右
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两焦点
F1、
F
构成
2
P
F1
F2
，求
P
F1
F2
的内切圆与
边 F 1 F 2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、 F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF1 |、| PF2 |和 | F 1 F 2 |
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.