裂项相消法的几种变换技巧
洪凰翔　(湖北武穴师范　436400)
裂项相消法是解决有限项数列求和的一种重要方法.“裂项”的方法很多,但要选择一种通过“裂项”而达到“相消”直至解决问题的方法却是较难的.本文就此问题谈几种技巧.1　直接变换
数列通项的结构式具有明显的裂项特征时,就应不失时机地直接进行裂项变换.
例1　求下列数列各项的和
12!,23!,34!,…,n -1n !
.解　∵n -1n !=n n !-1n !=1(n -1)!-1n !
,
∴S n -1=(1-12!)+(12!-13!)+(1
3!
-14!)+…+(1(n -1)!-1n !)=1-1n !.2　加零变换
作“m -m ”的变换,然后巧妙地作等价运算,往往能实现裂项相消的愿望.
例2　求和:
S n =1+11+2+11+2+3+…+1
1+2+…+n .
解　11+2+…+n =
2
n (n +1)=2(n -n +1)n (n +1)=2n -2n +1.
∴S n =(21-22)+(22-23)+…+(2
n
-2n +1)=2-2n +1=2n n +1.
3　乘“1”变换
如加零变换失效,就要及时调节思维方向,转换运算形式.可在通式中施以乘“m ÷m ”(m ≠0)的变换,找到裂项相消方法.
例3　设{a n }为等差数列,且公差为d ,
求S n =1a 1+a 2+1
a 2+a 3
+…+
1
a n +a n +1
.
1
=1d ·d a n +a n +1=1d
·a n +1-a n a n +
a n +1
=1d
(a n +1-a n ),∴S n =1d (a 2-a 1)+1d
(a 3-a 2)+…+1
d (
a n +1-a n )
=
a n +1-a 1a n +1-a 1
n
=n
a 1+a n +1
.
4　公式变换
依据数列的通项结构原理,灵活地运用数学公式,常能使裂项相消达到较为理想的境界.如排列数、组合数性质、积化和差公式等,只要开拓思维,善于发掘和应用,就能使它们成为裂项相消的有力工具.
例4　求和:S n =C 26+C 27+…+C 2
n +5.
解　由组合数性质C m n +1=C m n +C m -1
n 得C 3n +6=C 3n +5+C 2
n +5,则
C 2n +5=C 3n +6-C 3n +5.
故S n =(C 37-C 36)+(C 38-C 3
7)+…+(C 3n +6-C 3n +5)=C 3n +6-C 36.
例5　求和S n =sin H +sin (H +A )+…+sin[H +(n -1)A ].
解　sin[H +(n -1)A ]
=
2sin A 2
·sin[H
+(n -1)A ]2sin A 2=
co s(H +2n -32A )-co s(H +2n -1
2A )
2sin
A 2∴S n =co s(H -A 2)-cos(H +A
2
)
2sin A 2
+
cos(H +A 2)-cos(H +3
2A )
A +…+
·
39·2001年第3期 中学数学月刊
cos(H +
2n -32A )-cos(H +2n -1
2
A )2sin A 2=
cos(H -A 2)-cos(H +2n -1
2
A )
2sin A
2
=sin n 2A sin(H +n -12A )
2sin
A 2
　(sin A 2≠0).
5　综合变换
对于某些数列求和问题,只用单一的变换技巧不能达到裂项相消的目的,这就要求并用多种变换手段,合理运算方能求和.
例6　求证∑n
i =1
(i -1)!(m +i )!=1m [1
m !
-n !
(n +m )!](n ,m
均为自然数).
证明　(i -1)!(m +i )!=(i -1)!
(m +i )!
·
(m +i -1)!(m +i -1)!·m m =(i -1)!(m +i )!·(m +i -1)!
(m +i -1)!·
1m (m +i -i )=1m [(i -1)!(m +i )!·(m +i )!(m +i -1)!-i (m +i )!]=1m [(i -1)!(m +i -1)!-i !(m +i )!],∴∑n
i =1
(i -1)!(m +i )!=1m ∑n
i =1[(i -1)!
(m +i -1)!
-i !(m +i )!]=1m [1m !-n !
(m +n )!
].
裂项相消法在求有限项数列的和中有着广泛应用,“裂项”是手段,“相消”才是目的.只有实现裂项相消,问题才能得到根本解决.
(上接第38页)　x 20=1x 20
,即x
0=±1时,等号成立.代入方程2a +b =-2,
a 2+
b 2=45
或
b -2a =-2,
a 2+
b 2=
45
,解之即可知当a =±4
5,b =-25
时,a 2+b 2的最小值为45.
例4　求实数a 的范围,使得对任意实
数x 和任意H ∈[0,P
2
]恒有(x +3+
2sin H cos H )2+(x +a sin H +a cos H )2≥1
8
.
(1996年全国联赛题)
解　由结论的形式联想到圆的方程的标
准形式,设m =x +3+2sin A cos H ,
n =x +a sin H +a cos A ,则m 2+n 2
≥
18表示以(0,0)为原点,以2
4
为半径的圆的外部(包括边界),消去x 得动直线的方程n =m -3-2sin H co s H
+a sin H +a co s H ,所以只须动直线与圆m 2+n 2=1
8恒相切或相离,
即
û3+2sin H cos H -a (sin H +cos H )û2
≥2
4恒
成立,所以û2+(sin H +co s H )2-a (sin H +
co s H )û≥1
2
恒成立即可.
令sin H +cos H =t ,由H ∈[0,P
2
],有1≤t
≤2,则化为û2+t 2-at û≥1
2,t ∈[1,
2]恒成立,即2+t 2-at ≥1
2
,或2+t 2-at
≤-12,t ∈[1,2]恒成立,即a ≤t +32t 或
a ≥t +5
2t
,t ∈[1,2]恒成立,利用函数的
单调性易求得6≤t +32t ≤
52,9
4
2≤t
+52t ≤72.∴a ≤6或a ≥72
.从以上数例可以看出,借助于辅助圆,常可使解题另辟蹊径,得到新颖别致的解法,达到事半功倍的效果,还可培养求异、创新思维的能力.·40· 中学数学月刊 2001年第3期。